Chút lưu lại

Go Back   Chút lưu lại > Văn Học/Nghệ Thuật > Tùy bút - Ký - Phiếm luận - Biên khảo
Trang nhà Phòng ảnh Thơ mới Download mViet Lưu bút

Tùy bút - Ký - Phiếm luận - Biên khảo
Những cảm hứng cho bạn trong một thoáng để rồi viết lên những tâm tình bạn nghĩ. Hoặc có thể là những đoản khúc, tản văn, biên khảo, nhật ký, bài viết bạn sưu tầm về quê hương, đất nước, con người ... trên Web ...v....v...

Trả lời
 
Thread Tools Display Modes
Old 14-08-2009, 02:25 PM   #1
hoangvu's Avatar
hoangvu
Administrator

 
Join Date: Oct 2003
United States
Đã Cảm ơn: 3,060
Được cảm ơn: 2,471 lần/1,400 bài
Blog Entries: 17
Status:hoangvu is offline
 
hoangvu is on a distinguished road

Cold Đường Trời Muôn Vạn Nẻo

Đường Trời Muôn Vạn Nẻo (Phần 1)
GS Nguyễn Xuân Vinh

Đây là truyện đầu tiên trong một tập truyện nói về Toán Học, một môn học đã vừa được tôn là ông Hoàng, vừa được coi là kẻ hầu của Khoa Học. Được coi như vậy là vì toán học dựa vào lý thuyết thuần lý và từ cổ xưa cho tới nay những gì dựa vào tư tưởng siêu việt, dù cho là triết lý thuần túy hay chỉ dùng để tạo dựng một định luật nguyên thủy cho một lý thuyết khoa học, cũng dễ gây được sự tôn vinh của các sinh đồ. Mặt khác, toán học, và đặc biệt là toán học áp dụng, thường được dùng làm công cụ để khai triển các bộ môn khoa học khác, kể cả kinh tế học, và như vậy được coi là kẻ thừa hành.

Tôi vẫn mong có dịp hoàn tất tập truyện này, nhưng đã trì hoãn cho tới nay mới viết, không phải là vì theo thứ tự ưu tiên của nhiều công việc cần phải làm, mà vì tôi vẫn suy nghĩ chưa định được mức độ cao thấp cho bài viết cho được phổ thông tới nhiều độc giả. Bài mở đầu này, tuy viết về một môn toán học tân kỳ, mới thực sự được khai phương toàn diện trong cuối nửa thế kỷ vừa qua, nhưng tôi đã hoàn toàn bỏ đi phần lý thuyết nặng nề mà chỉ nói về những áp dụng chính mà thôi. Đôi khi tôi để chen vào bài viết những kinh nghiệm bản thân là cốt để cho câu chuyện bớt khô khan cho người đọc. Tôi hy vọng qua những câu chuyện toán học, đôi khi chen vào chút tâm sự lòng mình, tôi có thể truyền cảm tới các thanh niên hiếu học, làm cho các bạn cũng ưa thích toán học, một bộ môn đã làm cho tôi say mê từ thuở thiếu thời.

Tâm Sự Qua Một Bài Thơ
Một trong những bài thơ tôi thích là bài “Bán Than” của Trần Khánh Dư, Thượng Tướng đời nhà Trần.

Bán Than
Một gánh kiền khôn, quẩy xuống ngàn,
Hỏi chi bán đấy? Gửi rằng than.
Ít nhiều miễn được đồng tiền tốt,
Hơn thiệt nài bao gốc củi tàn.
Ở với lửa hương cho vẹn kiếp,
Thử xem đá sắt có bền gan.
Nghĩ mình lem luốc toan nghề khác,
Nhưng lẹ trời kia lắm kẻ hàn.

Ông là tôn thất nhà Trần, làm quan và phạm lỗi, bị cách chức, phải ra ở Chí Linh đốt củi bán than. Khi giặc Nguyên xâm lăng nước ta, vua Trần Nhân Tôn (1278-1293) hội vương hầu ở Lục Đầu Giang bàn việc binh. Trần Khánh Dư nhân chở than đi qua làm bài thơ dâng vua ngự lãm để tỏ ý chí mình và được vua khen, cho phục chức theo đi đánh giặc. Ông có công lớn, sau trở thành danh tướng.

Thường khi chúng ta thích một bài thơ nào, thì thường là vì lời thơ hay vì ý thơ. Tôi thích bài thơ trên có lẽ vì ý thơ hợp với ý mình. Đôi khi tôi nghĩ có lẽ vì bốn câu cuối, vì từ xưa tới nay bản tính mình tôn trọng nếp sống chung thủy với gia đình, với người đồng hương, với đất nước. Ngay ở trong công việc, tôi hay nghĩ đến làm những công việc có ích cho đời hơn, dù cho việc ấy có bận nhiều đến thân mình như hai câu cuối trong bài.

Nhưng hôm nay tôi chợt động tâm nghĩ rằng trong mười năm gần đây, môn toán học tôi chú trọng nhiều đến là “Phép tính biến thiên” (Calculus of Variations), có thể dùng hai câu thực trong bài “Bán than” để diễn tả là:

“Ít nhiều miễn được đồng tiền tốt,
Hơn thiệt nài bao gốc củi tàn”.

Điều căn bản trong phép tính này là dùng phương pháp thêm bớt cho lượng mà mình muốn khảo xát, mỗi lần thay đổi chút đỉnh mà thấy lượng đó tăng lên tức là mình đã tính được chiều hướng tối ưu. Tìm bằng cách nào tôi sẽ nói tới ở đoạn sau. Để mở đầu, chúng ta hãy bàn về một bài tính giản dị nhất.

Đường Thẳng là Đường Ngắn Nhất
Chúng ta hãy tạm công nhận là đường thẳng là đường ngắn nhất giữa hai điểm A và B, như ta có thể nhìn thấy khi căng một sợi chỉ giữ hai mấu tượng trưng cho hai điểm. Biết như vậy ta có thể giải đáp bài toán sau đây:

“Hàng ngày một em bé gái đi từ nhà ở điểm A tới chuồng bò ở điểm B để vắt sữa mang về nhà. Trước khi tới chỗ vắt sữa, em tới bờ sông, tượng trưng bằng một đường thẳng S để rửa bình sữa, theo hình vẽ 1. Em phải tới bờ sông ở điểm nào, gọi là điểm C, để con đường từ A đến C rồi đến B là đường ngắn nhất?”


Lời giải của bài toán này thật là giản dị. Ta coi đường thẳng S như là một gương phẳng rồi lấy hình đối xứng A’ của điểm A như trên Hình 1. Nối đường A’B gặp đường thẳng S ở điểm C. Đường đi từ A tới C rồi tới B là đường ngắn nhất em bé phải đi. Như thế là vì theo phép đối xứng, đoạn AC bằng đoạn A’C.

Như vậy
AC + CB = A’C + CB
Và từ A’ đến B dùng đường thẳng A’CB là đường ngắn nhất.

Đây là một bài toán hình học, nhưng cùng một lúc ta tìm ra được một định lý về quang học. Nếu đường S tượng trưng cho một tấm gương phẳng thì nếu một tia sáng phát ra từ điểm A, dội vào mặt gương rồi phản chiếu qua B mà đi theo đuờng ngắn nhất thì đó là đường đi ACB của cô bé trong bài toán. Mặt khác nếu ta vẽ đường CN thẳng góc với mặt phẳng gương thì hai góc tới và góc phản chiếu là hai góc bằng nhau như theo dấu vẽ trên Hình 1. Đường CN, gọi là pháp tuyến, chia góc ACB làm hai góc bằng nhau.
Bây giờ ta làm cho bài toán khó khăn hơn một chút nữa và coi bờ sông S không phải là thẳng tắp theo một đường thẳng mà lại vòng vèo như theo Hình 2. Trong trường hợp này đường đi ngắn nhất của cô bé sẽ ra sao?
Thứ nhất ta mặc nhiên công nhận rằng em bé đi từ A tới C rồi từ C tới B sẽ theo những đoạn thẳng, vì đi đường vòng hay đi gấp khúc đều kéo dài thêm đường đi.

Thứ hai, ta thử coi lộ trình của em bé đi từ điểm A tới một điềm M nào đó, chưa tới bờ sông, rồi từ M đi về chuồng bò ở điểm B tổng cộng một đoạn đường dài là:
AM + MB = d

Bây giờ ta giữ nguyên độ dài đường đi là d, nhưng không theo hướng AM mà đi theo một hướng khác AM’ rồi đi về điểm B để cho cùng có một đoạn đường dài là:
AM’ + M’B = d

Nói một cách khác, trên một bản đồ thu hẹp lại, nếu ta cắm một đinh ghim ở điểm A và một đinh ghim ở điểm B rồi chằng giữa A và B một đoạn dây tượng trưng cho độ dài d không đổi, rồi đặt một đầu bút chì ở điểm M cho căng thẳng giây và vạch một vòng, ta sẽ được một hình bầu dục vẽ theo đường gạch quãng ở Hình 2. Hình bầu dục này là một hình rất đặc biệt gọi là hình ellip. Các hành tinh, sao chổi, vẫn thạch quay chung quanh mặt trời cũng theo những hình này.


Hình 2

Cho đến đây ta thấy rằng theo Hình 2, nếu giữ dộ dài là d thì em bé nếu đi bất cứ hướng nào, khi tới giới hạn là hình bầu dục là phải trở về B để cho tổng cộng đoạn đường đã hạn định trước và không tới được bờ sông. Vì vậy sẽ phải thêm đoạn đường cho dài ra và làm cho hình bầu dục nới rộng ra. Khi đoạn dây vừa đủ dài, hình bầu dục sẽ vừa đủ rộng để tiếp xúc với bờ sông S ở điểm C là điểm phải tìm.

Giờ ta đứng ở phía Nam bờ sông S và tưởng tượng ta dần dần nối dài đoạn đường tổng cộng d để cho hình bầu dục lớn dần dần cho đến khi chạm bờ sông S để xem điểm C có thể ở đâu.

Nếu bờ sông khúc khuỷu có những mũi nhọn ra, như khi từ phía Nam bờ bể Việt Nam ta nhìn về phía mũi Cà Mau, thì điểm chạm đầu tiên là điểm C có thể là ở mũi nhọn. Nếu bờ sông S là một hình cong không gập ghềnh thì điểm chạm C được gọi là điểm tiếp xúc, nghĩa là ở điểm C ta có thể vẽ một đường thẳng làm đường tiếp tuyến CT chung cho cả đường cong S lẫn đường bầu dục như ở Hình 3.


Hình 3

Nếu ở điểm C vẽ đường thẳng góc CN với đường tiếp tuyến, đường này gọi là đường pháp tuyến, thì CN sẽ chia góc ACB làm hai góc bằng nhau như coi trên hình vẽ. Ta lại có thêm một định luật về quang học. Nếu coi đường cong S như là tiết diện của một mặt gương lồi thì một tia sáng từ A phản chiếu trên S để tới B sẽ theo đường ngắn nhất và góc tới của tia cũng sẽ bằng góc phản chiếu.

Nếu bây giờ ta bỏ mặt gương S đi và coi hình bầu dục như là một mặt gương lõm thì ở bất cứ một điểm C nào trên đường bầu dục, ta vẽ tiếp tuyến CT và pháp tuyến CN ta cũng có một định lý hình học là đường pháp tuyến CN chia góc ACB làm hai góc đều nhau. Đó là một tính chất đặc biệt của hình bầu dục và hai điểm A và B dùng để làm mấu căng thẳng sợi dây AC + CB = d để vẽ hình bầu dục, hai điểm này gọi là tiêu điểm.

Thanh âm cũng dội lại như ánh sáng. Nếu ta tưởng tượng hình bầu dục ở Hình 3 như là một vòm trong đường hầm của tầu điện, có hai bờ ở bên A và B thì người đứng ở tiêu điểm B sẽ nghe được rất rõ ràng những gì phát âm ở A vì thanh âm ở A truyền đi bất kỳ hướng nào khi gặp vòm bầu dục sẽ phản lại và tập trung về B.
Reply With Quote
Old 14-08-2009, 02:33 PM   #2
hoangvu's Avatar
hoangvu
Administrator

 
Join Date: Oct 2003
United States
Đã Cảm ơn: 3,060
Được cảm ơn: 2,471 lần/1,400 bài
Blog Entries: 17
Status:hoangvu is offline
 
hoangvu is on a distinguished road

Cold Đường Trời Muôn Vạn Nẻo

Đường Thẳng không phải là Đường Tốt Nhất
Sự việc đường thẳng là đường ngắn nhất giữa hai điểm thì không ai phủ nhận. Nhưng nếu hỏi tại sao lại là ngắn nhất thì thường được trả lời dản dị là “vì nó là đường thẳng!” Câu trả lời lòng vòng như vậy, đối với thế nhân thì, thôi gọi là chín bỏ làm mười cho nó xong. Nhưng với một nhà toán học thì không đuợc minh bạch. Bây giờ ta hãy bỏ ra ngoài vấn đề đường thẳng là đường ngắn nhất, mà đặt lại vấn đề là dùng đường thẳng để di chuyển có lợi không? Chữ lợi đặt ra ở đây có nghĩa là lợi về thời gian nghĩa là nhanh nhất.

Những ai đã lái xe đi từ một điểm A ở bờ Đông một thành phố để tới một điểm B ở bờ phía Tây thành phố ấy mà đi xuyên qua thành phố một buổi chiều xe cộ rộn rịp như mắc cửi, đặc biệt là ở những phố giữa trung tâm, là thấy ngay câu trả lời là không nên dùng đường thẳng xuyên tâm mà đi. Cũng vì vậy mà ở những thành phố lớn đã được thiết lập những đường vòng đai để ta có thể mau chóng lái xe về phía bên kia. Theo như thế chúng ta đã đi đường vòng, mà không đi theo đường thẳng là đường ngắn nhất, để có thời gian di chuyển chóng nhất.

Bài toán di chuyển với thời gian nhanh nhất không phải mới được đặt ra khi có hoả tiễn để du hành vũ trụ mà có lẽ đã được đặt ra tự ngàn xưa. Nhưng bài toán nổi danh nhất để mở đầu cho Phép Tính Biến Thiên được đề cập đến trong bài này, đến thế kỷ thứ 17 mới được đặt ra và giải đáp gọn gàng.

Khởi đầu là hai anh em nhà Bernouilli, người Thụy Sĩ, ông anh tên là James (1654-1706) là giáo sư toán ở Đại học Basle và ngưòi em tên là John (1667-1748). Người em là học trò của ông anh và sau này trở nên tiếng tăm lừng lẫy hơn ông thầy mình. Sau khi học ở Basle vào năm 1690, John đi Pháp để học thêm về toán và tới năm 1695 thì trở về nước và nhận một chức giáo sư ở Đại học Groningen. Vào khoảng thời gian này không biết vì duyên cớ gì, hai anh em nhà Bernouilli trở nên kình địch và tranh hơn thua nhau qua những phương trình toán, hay qua những bài toán đố và những bài toán giải. Vào tháng 6 năm 1696, John Bernouilli thách thức giới toán học giải bài tính sau đây:

“Từ một điểm khởi đầu O, thả trôi một cái vòng theo một đường giây nhẵn thín cho tuột xuống một điểm A ở phía dưới. Phải uốn đưòng giây theo hình nào để cho thời gian tuột được ngắn nhất?”


Hình 4

Chiếc vòng tất nhiên tuột xuống theo trọng lực hấp dẫn, nhưng nếu dùng đường thẳng từ O xuống A lại không được thời gian ngắn nhất. Theo Hình 4, ta có thể theo một đường giây khác, chẳng hạn như đường giây vẽ ở phía trên, và nếu theo hình này thì lúc đầu vận tốc có thể chậm nhưng càng về sau càng nhanh. Phương pháp này có thể tiện lợi cho một cuộc đua giai sức, nhưng với bài toán này thì lời giải lại là đường cong vẽ ở phiá dưới trong Hình 4. Đường cong này gọi là Cycloid, và ngoài hai anh em ông Bernouilli, những nhà toán học trứ danh đương thời như Newton, Leibniz, hầu tước Hospital đều có lời giải đúng.

Chính danh ra chỉ có những bài giải đáp của hai anh em ông Bernouilli được đăng ra trên báo vào tháng 5 năm 1697. Bài của John Bernouilli dễ đọc và hay diệu vời. Vào thời đó những môn tính vi phân và tích phân mới ở trình độ phôi thai nên những lời giải của những bài toán khó cần phải dựa vào những mánh lới đặc biệt. John thì nhận thức được rằng đường cong được dùng để trượt xuống một cách nhanh chóng cũng là đường của một tia sáng đi từ O tới A nhưng qua một lớp kính mỗi đợt có chiết xuất khác nhau. Nhờ đó mà ông tìm ra được đường Cycloid, cũng là qua định luật quang học. Bài giải của James Bernouilli thì quá phức tạp nhưng kỹ thuật dùng có tầm vóc rộng, có thể áp dụng vào những bài toán khác. Để kết thúc bài đăng này, ông anh James đã ra thêm một bài toán khó khăn hơn thuộc phạm vi toán biến thiên để mọi người cùng thẩm định tìm lời giải, và ông đặc biệt thêm rằng nếu John Bernouilli giải được thì ông thưởng cho năm mươi quan tiền. Sau đó hai anh em có nhiều cuộc tranh luận gay cấn và ngã ngũ ra ông anh James đăng bài giải đáp vào năm 1701 và cho rằng John đã không giải nổi. Hai bài giải toán của James Bernouilli đăng những năm 1697 và 1701 là những bài khởi đầu gây hứng khởi cho một nhà toán học Thụy Sĩ lừng danh khác là Leonhard Euler (1707-1783) và Euler đã là người đặt căn bản vững chãi đầu tiên cho Phép Tính Biến Thiên, đã có nhiều công dụng ích lợi trong những thế kỷ tiếp theo dùng để giải những bài toán có lời giải tối thiểu và đặc biệt để tính những qũy đạo hỏa tiễn cho đỡ tốn nhiên liệu.

Để kết luận đoạn này tôi cần thêm mấy tiểu truyện sau đây:
Vào năm 1705, sau khi James Bernoulli qua đời, người em John Bernouilli quay về tỉnh Basle là nơi sinh quán để nhận một chức giáo sư Toán và ở lại đây hơn bốn mươi năm cho đên khi mãn đời. Ông vẫn say mê với toán học nhưng không còn ai trong quyến thuộc ngang tài để tranh đua. Ông là thầy học của Euler.

Phương trình căn bản của Phép Tính Biến Thiên, dùng để tìm những lời giải có trị số tối thiểu, nay được gọi là phương trình của Euler và Lagrange. Gọi như vậy là vì Euler tìm ra phương trình khi khảo xát tính biến thiên. Phương trình này lại giống hệt phương trình của Lagrange khi tìm phương pháp tổng hợp giải tích của môn cơ học.


Hình 5

Muốn có hình ảnh của đường Cycloid, có thể gọi là đường vạch của vành bánh xe, thì ta gắn một điểm sáng vào vành xe đạp rồi lăn trong tối. Điểm sáng M sẽ vạch thành đường Cycloid như theo Hình 5. Muốn có đường giây tuột nhanh nhất như trông ở Hình 4 thì quay lộn ngược đường Cycloid ở Hình 5.

Đường Cycloid, dù trông theo chiều thuận tự nhiên như ở Hình 5, hay theo chiều lộn ngược dùng làm giây tuột ở Hình 4, là một hình đặc biệt, được nhắc đến nhiều trong Toán học. Dĩ nhiên là ta đã có thể nhìn thấy lờ mờ hình ảnh của hình này từ khi loài người nghĩ ra bánh xe tròn, chẳng hạn như khi xưa, xe chở nặng gặp chỗ lầy, một xa phu nếu cầm vào vành bánh xe để quay vận chuyển thì chỗ tay nắm sẽ di động theo hình cycloid. Nhưng phải tới năm 1501 ta mới thấy hình này đuợc nhắc tới trong cuốn sách của Charles Bouvelles và tới thế kỷ 17 tính chất cơ hữu của hình mới được tìm ra khi các nhà toán và vật lý học đương thời như Galileo, Pascal, Toricelli, Descartes, Fermat, Huygens chú ý đến qua những công trình của anh em Bernouilli và Newton cùng Leibniz như đã nói ở trên. Ngoài tính chất cơ hữu mà anh em Bernouilli đã tìm ra, hình này có những tính chất đặc biệt như sau:

1/ Chiều dài của mỗi vành cung vạch ra bằng bốn lần đường kính của bánh xe. Điều này thật là đặc biệt vì dẫu rằng liên hệ tới vòng tròn mà chiều dài của cycloid lại không phụ thuộc vào số Pi = 3.14159... là số dùng để tính diện tích và chu vi của hình tròn.

2/ Diện tích của phần bao gồm bởi vành cung cycloid và đường thẳng để lăn vòng tròn bằng ba lần diện tích của vòng tròn.

3/ Nếu lật ngược hình cycloid và coi như là tiết diện của một cái chậu, thì nếu ta thả một viên bi ở bất kỳ điểm nào trên vành cung, thời gian để viên bi lăn xuống điểm thấp nhất cũng bằng nhau.

Nhiều người đã gán cho hình cycloid cái tên là tiên nữ Helen của thành Troy. Giở lại truyện thần thoại Hy Lạp, Helen là con gái của Ngọc Hoàng Zeus và nữ thần Nemesis, lúc mới đầu sinh ra như cái trứng của thiên nga và được nữ hoàng Leda đưa về nuôi dưỡng khi trứng nở ra tiên nữ. Vì nàng tiên nữ quá đẹp, không biết bao nhiêu danh tài ngấp nghé nên cha nuôi là quốc vương Tyndareous đã bắt tất cả những người mơ tưởng Helen phải tuyên thệ sẽ bảo vệ cho nàng khi nàng đã lựa chọn người chồng. Nhưng sau này Menelaus là phu quân của Helen đã không giữ được an toàn cho vợ mà để hoàng tử Paris cướp mất đưa về thành Troy. Menelaus đã triệu tập tất cả các vương công Hy Lạp tới vây hãm thành Troy, gây chiến tranh gươm đao ngập trời cũng chỉ vì chuyện tranh cướp người đẹp.

Hình đẹp tuyệt vời là hình cycloid đối với các nhà toán học ở thế kỷ 17 cũng vậy. Đã có những bút chiến tranh chấp, dành phần ai đã là người đầu tiên tìm ra tính chất hay lạ của hình. Có cả những sự miệt thị nhau để dìm tài nhau. Ở vào một thế kỷ mà phương tiện ấn loát chưa được phổ thông và nhanh chóng, phương tiện thông tin chưa được hoàn mỹ như bây giờ, thì sự việc ai là người loan tải phát minh toán học trước nhất, ai là người sao lại bài của người khác rồi nhận là của mình, cũng khó lòng minh định được. Có một điều chắc chắn là những gì cần biết của hình cycloid đã được hoàn toàn phơi bầy trên nhiều trang sách. Nếu ai có muốn tìm thêm tính chất mới lạ cũng sẽ chỉ mất công dã tràng mà thôi.

Ít Nhiều Miễn Được Đồng Tiền Tốt
Tiểu đề của đoạn này là câu thơ trong bài “Bán Than” đôi khi tôi lẩm nhẩm đọc và tiếp theo bằng câu: “Hơn thiệt nài bao gốc củi tàn”.

Vào cuối thế kỷ trước và sang thế kỷ 21, ai cũng muốn tìm ra phương sách hữu hiệu để dựa vào những dữ kiện đã có mà tiên đoán được tương lai, đặc biệt áp dụng vào những chiều hướng xã hội, chính trị và kinh tế. Lấy một thí dụ cụ thể, chúng ta có một số vốn nuốn đầu tư, chắc không chịu bỏ vào một công ty đang xuống dốc mà rất có thể dám đặt vào một cơ sở tuy chưa phát đạt nhưng có chiều hướng bành trướng trong tương lai. Cái dấu hiệu “đang xuống dốc” hay “có cơ hội tăng trưởng” được đặt thành lý thuyết toán học vào đầu thế kỷ 17 và gọi là môn “Toán Vi Phân” (Differential Calculus), sau này áp dụng vào “Lý Thuyết Cực Đại và Cực Tiểu Thông Thưòng” (Ordinary Theory of Maxima and Minima) và sau cùng phát triển sâu rộng vào một lý thuyết phức tạp gấp bội là môn “Toán Biến Thiên” (Calculus of Variations) được đề cập đến trong bài viết này.
Để mở đầu, tôi xin trình bầy lý thuyết thông thường là lý thuyết sơ khai, để tính những trị số cực đại hay cực tiểu.

Tôi lấy một thí dụ quen thuộc là nhiệt độ không khí trong một ngày. Buổi sáng trước khi đi làm, vặn đài truyền hình ta thường nghe được tin tức báo về khí tượng trong ngày, từ nhiệt độ hiện tại rồi sẽ tăng tới mức cực đại vào một giờ nào đó trong ngày, rồi sẽ giảm tới một mức cực tiểu cũng vào một giờ nào đó vào ban đêm, để rồi lại tăng lên và bắt đầu chu kỳ tiếp nối ngày hôm sau. Chúng ta nói là nhiệt đô luân lưu thay đổi theo với thời gian. Trong toán học ta gọi thời gian là biến số, tượng trưng bằng chữ t , và nhiệt độ là hàm số tượng trưng bằng chữ x, và viết ký hiệu là x = f(t), và đọc là x là hàm số của thời gian t. Ta có thể biểu diễn bằng một đồ thị, sự biến thiên của nhiệt độ x, theo với thời gian t, vào một buổi sáng như theo Hình 6 .

Chẳng hạn lúc 9 giờ sáng, ta có nhiệt độ là 600 F , tượng trưng với đìểm M. Cách khoảng nửa giờ sau, ghi bằng một gia số thời gian là Δt (trong toán dùng chữ Delta để chỉ sự sai biệt) , ta thấy nhiệt độ tăng lên là 650 F tức là có gia số nhiệt độ là Δx = 50 F. Cái tỷ số Δx/Δt cho ta biết mức độ tăng hay giảm là bao nhiêu, nhiều hay ít. Nếu tỷ số lớn ta có mức tăng nhanh, cao lên vòn vọt, và nếu tỷ số nhỏ thì mức tăng từ từ. Như trong trường hợp này, vào khoảng từ 9 giờ đến 9 giờ rưỡi sáng, mức tăng nhiệt độ trung bình là mỗi giờ tăng lên mười độ và viết là 100 F/giờ. Nếu điểm M’ là điểm tượng trưng ở lúc 9 giờ 30 thì cái tỷ số tính được ở trên cũng là độ dốc của đường MM’. Nếu ở điểm M ta vẽ đường tiếp tuyến MT với đồ thị thì độ dốc của đường MT lớn hơn độ dốc của đường MM’. Như thế là vì tỷ số tính được ở trên là tỷ số trung bình, hay còn gọi là độ dốc trung bình, còn trung thực ra thì mức độ nhiệt độ tăng ở M (tức là ở 9 giờ sáng) thì lớn và giảm đi dần dần, để khi tới M’ (tức là 9 giờ 30 ) thì nhỏ hơn. Độ dốc của đường MT là độ dốc tức thì (ở thời điểm 9 giờ sáng). Trong toán học ta gọi nó là đạo hàm của hàm số. Theo toán vi phân, ta chỉ cần ước lượng độ tăng hay giảm chút ít là biết được chiều hướng tức thì, tức là chiều hướng đương thời. Ta lấy quy ước là bao giờ cũng lấy số gia Δt của biến số thời gian là số dương. Trong trường hợp nhiệt độ tăng thì Δx có trị số dương. Tỷ số Δx/Δt cũng là tỷ số dương. Nếu ta cho điểm M’ dần dần tới điểm M, thì tới giới hạn đường MM’ trở thành đường tiếp tuyến MT, và độ dốc của MT hay là đạo hàm của hàm số cũng có trị số dương tượng trưng cho sự tăng của hàm số. Nếu từ điểm M ta lần lần đi theo đồ thị và ở mỗi điểm vẽ đường tiếp tuyến MT và ước lượng độ dốc của tiếp tuyến này thì thấy độ dốc nhỏ dần dần và thành số không khi tới điểm cao nhất của đồ thị là điểm C cho ta thời điểm khi nhiệt độ ban ngày là cao nhất. Sau đó, độ dốc có trị số âm. Đó là vì ta vẫn có Δt là trị số dương mà nhiệt độ lại giảm theo thời gian, nhiệt độ giờ sau kém nhiệt độ giờ trước. Tính Δx ta có trị số âm, và tỷ số Δx/Δt cũng thành âm.Tới giới hạn, thay vì dùng độ giảm (hay độ dốc) trung bình ta lấy độ giảm tức thời (hay đã gọi là trị số đạo hàm), thì ta cũng có đạo hàm với trị số âm và hàm số nhiệt độ đang giảm đi theo với thời gian. Và nếu ta tiếp tục theo đồ thị của nhiệt độ trong một ngày ta sẽ thấy khi đi vào ban đêm, độ dốc cũa tiếp tuyến với đồ thị, tuy vẫn còn trị số âm nhưng nhỏ đi dần dần và thành số không trước khi chuyển sang trị số dương. Lúc đó nhiệt độ ở mức thấp nhất gọi là cực tiểu.

Ở thời đại này, không ít thì nhiều, chúng ta ai cũng quen thuộc với những đồ thị, nhưng những điều lý luận mô tả ở trên, phải đợi cho đến thế kỷ 17 qua hai nhà toán học lỗi lạc là Isaac Newton (1642-1727) ở Anh quốc và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ở Đức quốc mới được trình bầy một cách minh bạch. Newton là người đã đề xuất ra những nguyên lý căn bản của Cơ học và cũng là người đã tìm ra định luật hấp dẫn của vạn vật. Ông viết một bài lý thuyết vào năm 1671, được đăng tải năm 1673 trong đó nói rằng nếu một biến số nào đang tăng lên thì độ thay đổi có trị số dương, và khi biến số đó đang giảm đi thì độ thay đổi có trị số âm. Vì vậy khi độ thay đổi là số không, đó là lúc biến số qua cực đại hay cực tiểu. Cùng một lúc, Leibniz khảo sát vấn đề dựa theo hình học và đăng một bài viết vào năm 1684 trong đó ông chứng minh rằng độ tăng hay giảm là độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị và khi tiếp tuyến nằm ngang với độ dốc có trị số không, đó là điểm cực đại hay cực tiểu của hàm số.

Những điều đã nói ở trên rất có thể các danh sĩ, thức giả Việt Nam khi xưa đã lầu thông nho, y, lý và số cũng đã biết nhưng dựa vào triết học siêu hình, không dùng lý luận để phân tách nên đã không diễn đạt ra một cách minh bạch. Để chứng minh điều này xin bạn đọc củng tôi lần giở lại mấy trang phương cảo xét lại mấy mối tình mà thi hào Nguyễn Du đã tả trong Truyện Kiều. Tình cảm của con người cũng tăng hay giảm theo với thời gian. Muốn tính được mức độ tăng hay giảm ta phải thí dụ rằng có máy đo tình cảm con người và dùng một đơn vị, chẳng hạn đặt theo tên một triết gia như Henri-Louis Bergson (1859-1941), như ta đã dùng tên ông Ampère để làm đơn vị đo cường độ một giòng điện.

Kim Trọng, sau khi gặp nàng Kiều về nhà tưởng nhớ. Mối tình nẩy nở đã được Nguyễn Du tả như sau:
Chàng Kim từ lại thư song,
Nỗi nàng canh cánh bên lòng biếng khuây.
Sầu đong càng khắc càng đầy,
Ba thu dọn lại một ngày dài ghê.
Mây Tần toả kín song the,
Bụi hồng lẽo đẽo, đi về chiêm bao.
Tuần trăng khuyết, đĩa dầu hao
Mặt mơ tưởng mặt, lòng ngao ngán lòng”.

Như ở đầu chương này, ta gọi Δt là số gia của thời gian và Δx là số gia của tình cảm, hàm số của thời gian, thì ta thấy ở hai câu cuối khi nói đến tuần trăng tròn rồi khuyết, đĩa dầu đầy rồi vơi là thi hào Nguyễn Du đã tả là thời gian đang trôi đi, tức là Δt có trị số dương và khi nói đến nhớ mong, mơ ước là biểu thị rằng Δx cũng có trị số dương, và có một độ lớn. Hai câu này đã dùng lượng để tả mối tình đang tăng lên diệu vợi, Kim Trọng đang tương tư nàng Kiều như ở đoạn sau đã có những câu nói thêm:

Mành Tương phất phất gió đàn,
Hương gây mùi nhớ, trà khan giọng tình.

Để nói về những mối tình đã tăng, hay giảm theo với thời gian và qua những mức độ cực đại hay cực tiểu, ta có thể lấy mối tình của Thúc Sinh đối với nàng Kiều là người vợ thứ, và đối với Hoạn Thư là người vợ chính. Sau khi được quan Phủ ở Lâm Truy cho phép lấy Thúc Sinh làm vợ thứ, ăn ở được gần một năm, Kiều khuyên Thúc Sinh về thăm nhà để dò ý người vợ chính bằng những câu:

“Phận bồ từ vẹn chữ tòng,
Đổi thay nhạn, yến đã hòng đầy niên.
Tin nhà, ngày một vắn tin,
Mặn tình cát lũy, nhạt tình tao khang.”

Khi nói chim nhạn đến mùa thu, và chim én tới mùa xuân, thì Nguyễn Du đã tả thời gian trôi qua, mà thực sự nói rằng đã gần trọn một năm trời. Như thế số gia của thời gian Δt đã có trị số dương. Trong khi đó số gia của tình cảm, gọi là Δx, của Thúc Sinh đối vói nàng Kiều thì lại mặn mà, vì tình cát lũy là tình với loài dây leo, thân phận nhờ vả, ý nói người vợ thứ; còn tình với ngưòi vợ chính là tình tao khang, là bỗng và cám, ý nói người chính thê, lấy nhau từ thuở hàn vi, thì lại nhạt dần. Vì vậy Δx của Thúc Sinh đối với Kiều có trị số dương, tình cảm tăng theo với thời gian và Δx của Thúc Sinh đối với Hoạn Thư có trị số âm, tình cảm đối vói người vợ chính đã giảm đi theo với thời gian.

Thúc Sinh khi về thăm nhà cũng không dám thú thật câu chuyện với người vợ cả. Sau đó khi đang trên đường trở về Lâm Truy với nàng Kiều thì mẹ Hoạn Thư là phu nhân Lại Bộ Thượng Thư đã cho gia nhân đi bắt cóc Kiều nương, lại đốt nhà sau khi bỏ vào thây người vô chủ, nên khi tới nhà, Thúc Sinh tưởng Kiều đã bị tai nạn hoả thiêu. Chàng than khóc và thương nhớ Kiều bội phần:

“Lâm Truy từ thuở uyên bay,
Buồng không thương kẻ tháng ngày chiếc thân. Mày ai trăng mới in ngần, Phấn thừa, hương cũ, bội phần xót xa.” Mấy câu này chứng tỏ rằng, qua với thời gian đang trôi đi, tình thương nhớ cũng tăng lên vòn vọt. Nhưng mối tình này của Thúc Sinh đối với Kiều, rồi sẽ giảm đi, sau khi qua một cực đại, cũng như tình của chàng đối với Hoạn Thư tuy đang lạnh nhạt, nhưng khi đã xuống đến mức độ thấp nhất rồi cũng sẽ lại tăng lên. Muốn chứng tỏ điều này ta đọc mấy câu viết tiếp của thi hào Nguyễn Du:
“Sen tàn, cúc lại nở hoa,
Sầu dài, ngày ngắn, đông đà sang xuân.
Tìm đâu cho thấy cố nhân?
Lấy câu vận mệnh khuây dần nhớ thương.
Trạnh niềm nhớ cảnh gia hương,
Nhớ quê, chàng lại tìm đường thăm quê.”

Hai câu đầu tả cảnh ngày tháng dần dần qua đi, hết mùa hạ hoa sen tàn lại tới mùa thu hoa cúc nở khoe ánh vàng chói lọi, rồi ngày lại ngắn đi trong những tháng đông, rồi tiếp theo đó là mùa xuân trở lại. Trong khi đó thì đọc hai câu tiếp theo, ta thấy tình thương nhớ người xưa đang bớt dần dần. Độ dốc của tình yêu có trị số âm và như vậy chuyển từ dương sang âm phải qua trị số không và tình của Thúc Sinh với Kiều đã qua trị số cực đại. Ngoài ra, hai câu cuối cho thấy Thúc Sinh đã nhớ quê, tìm đường về thăm chính thê, mối tình của chàng với Hoạn Thư đã ấm lại, và một khi độ dốc của tình cảm đã chuyển từ âm sang dương, tình cảm tất nhiên đã qua mức độ thấp nhất trước đó rồi.

********
Cũng như ở chương trước, tôi kết thúc chương này bằng mấy tiểu truyện.
1/ Ý kiến dùng toán để phân tích tình cảm trong Truyện Kiều, tôi nẩy ra trong tâm thức cách đây mấy chục năm khi còn trong quân đội. Hàng tuần tôi được phép Bộ Quốc Phòng dậy ít giờ toán ở trường Trung học Chu Văn An. Mục đích của tôi, đôi khi nói chuyện văn chương trong lớp là cho giờ toán đỡ khô khan và cũng để nhắc nhở học sinh biết tôn trọng những thi phẩm tuyệt tác của tiền nhân. Tôi cũng dùng đề tài đó để làm câu chuyện mở đầu nói với các thanh niên học sinh các trường trung học đô thành muốn gia nhập Không Quân Việt Nam lúc đó dưới quyền chỉ huy của tôi. Cũng nhờ đó mà các giờ dậy toán của tôi được học sinh chăm chú theo và một số các truờng trung học tư thục khác của một số các vị linh mục tôi quen biết mời tôi đứng tên vào ban giảng huấn, và Bộ Quốc Gia Giáo Dục cũng ấn hành mấy cuốn sách toán tôi viết. Làm những câu chuyện đó vì tôi nghĩ rằng chút học vấn mình đã thu thập được ở học đường, nhất là trong mấy năm được du học ở xứ người, nên tìm cách để truyền thụ lại cho thế hệ sau. Cũng vì vậy mà trong cuộc đời, tôi đã theo đúng lễ nghĩa của thánh hiền, đặc biệt tôn trọng những vị thầy học của mình.

Bài luận thuyết về “Những hàm số tình cảm trong Truyện Kiều” cho đến bây giờ tôi mới thực sự viết ra trên giấy, sau khi đã đọc những sách về tâm lý học và biết rằng người ta đã có những phương sách để đo sự rung cảm của con người. Ngoài một vài trích đoạn trên đây, tôi đã diễn tả thêm với tính cách văn học hơn trong một bài với tựa đề là “Nguyễn Du với Dòng Thời Gian” và trong một ấn trình của bài này cho một số báo Xuân, nhà thư hoạ Vũ Hối nổi danh với nét bút tuyệt vời, đã thư hoạ gần một trăm câu thơ lục bát Kiều tôi trích dẫn trong bài.

2/ Trong những năm còn ở nước nhà, tuy chỉ dậy có 4 giờ mỗi tuần, nhưng nếu kể cả những học sinh đã dùng những sách toán tôi viết, tôi đã có nhiều học trò ở cả hai phái nam và nữ. Tôi không thể nào nhớ hết được tất cả mọi người nhưng mỗi khi, ở những nơi hội họp mà có người đến tự giới thiệu để chào thầy cũ lại mang cho tôi một niềm an ủi như trong tâm sự của Trần Khánh Dư:
“Ở với lửa hương cho vẹn kiếp.
Thử xem đá sắt có bền gan,
Ít nhiều miễn được đồng tiền tốt,
Hơn thiệt nài bao, gốc củi tàn.”

Một lần tôi sang thành phố Toronto ở Canada để làm diễn giả danh dự cho buổi lễ phát thưởng cho học sinh Việt Nam xuất sắc do Hội Phụ Huynh Học Sinh và Giáo Chức cùng Hội Cao Niên và Hiệp Hội Chuyên Gia Ontario tổ chức. Trong giờ nghỉ, một bà đến chào và nói trước kia học lớp tôi dậy toán ở trường Hưng Đạo. Tôi nhớ rằng có một dịp hè, linh mục Trần Đức Huynh là người tôi rất qúy trọng và hiện là giám đốc trường này, đã thân hành lại nhà nhờ tôi dậy hộ mấy giờ toán cho một giáo sư nghỉ dưỡng bệnh và tôi đã nhận lời. Trong một thời gian ngắn ngủi và dù đã hơn ba mươi năm qua tôi vẫn còn nhớ được mấy cô nữ sinh ngồi bàn đầu và lúc nói chuyện tôi vẫn quen miệng gọi người học trò cũ là cô. Sau này có người cho tôi biết là bà Nguyễn Tăng Chương, cùng với phu quân là chủ nhiệm tờ Nguyệt san Sóng ở Toronto. Một lần khác chúng tôi về San Jose, được anh chị bác sĩ Nguyễn Thượng Vũ mời dự một buổi dạ hội, có một vị khách tới chào và tự giới thiệu là Trần Thanh Điền, trước kia có học Toán với tôi ở trường trung học Pétrus Ký. Tôi đã biết là Hải quân Đại tá Điền từng làm việc thân cận với Tổng Thống Nguyễn Văn Thiệu nhưng không ngờ là trước kia ông học toán với tôi ở trường Pétrus Ký. Ngoài ra đây cũng là điều ít người biết là tôi đã từng dậy học ờ Pétrus Ký vì tôi cũng chỉ dậy ở đó mấy tháng mà thôi. Vào dịp tôi mới du học ở Pháp về vào giữa những năm 50, vì thiếu giáo sư dậy toán trung học nên tôi được nhiều trường mời dậy giờ. Cậu em nhà tôi là bác sĩ Cung Hồng Vũ, lúc đó đang tìm cách chuyển từ trường tư thục các sư huynh công giáo dậy theo chương trình Pháp, sang trường công lập, lúc đó ở Pétrus Ký vẫn còn mở lớp, nên tôi đã nhận lời dậy cho trường để Hồng Vũ có thể đương nhiên nhập học với tính cách là con em giáo sư.

3/ Một buổi chiều khác, đang ngồi đọc sách ở thư hiên, tôi được điện thoại viễn liên, ở đầu dây bên kia có người tự xưng là ở gia đình Võ Văn Trưng. Tôi đã được biết về gia đình của giáo sư Võ Văn Trưng qua báo chí và truyền hình Việt Nam và đặc biệt qua bài giới thiệu của giáo sư âm nhạc Amy Catlin của Đại học UCLA. Gia đình gồm có cha mẹ và 7 người con tuổi từ 15 đến 30, từ mười năm nay đã giới thiệu văn hoá cổ truyền Việt Nam với khán thính giả Việt Nam và Hoa Kỳ qua đài truyền hình trên toàn quốc và trình diễn tại các ngày lễ và đại hội ở nhiều nơi tại California. Theo giáo sư Catlin, đây là một gia đình có tài tuyệt vời giống như gia đình Von Trapp rất đáng yêu trong truyện phim “The Sound of Music”. Họ có thể biểu diễn một cách tuyệt vời dùng những nhạc khí cổ truyền như đàn bầu, đàn tranh, nhị, sáo, tam thập lục huyền cầm và còn trình diễn những bài hát bội làm cho khán thính giả xúc động theo khi nghệ sĩ đóng vai bi thảm, và cười nức nở khi coi những màn hí lạc. Giáo sư Trưng, không những đã có công viết mới lại những vở chèo cổ điển Việt Nam, ca tụng đức tính hiếu thảo, lòng chung thủy, tình yêu và đạo lý, gìn giữ cho tình gia đình bền chặt của Việt Nam mà ông còn nghiên cứu võ thuật dậy các con biểu diễn những màn Thái cực quyền và Thái cực kiếm đặc sắc. Buổi điện đàm một buổi chiều với một người phương xa, giọng nói tao nhã, ân cần, với tôi xưng là em và gọi là thầy, đã đưa lại cho tôi một niềm vui vô tận. Tôi không dậy môn địa lý hay văn chương, hay lịch sử, hay môn khoa học nhân văn nào để có thể truyền tâm tình đến các học sinh của tôi. Tôi đã chỉ dậy về Toán, đại số, cơ học hay hình học có những đường thẳng song song hay thẳng góc, dùng phấn trắng vẽ trên bảng đen, không có mầu sắc đậm đà. Khi lý luận thì dùng lý trí, nếu không đúng thì phải là sai, không có những chuyện nửa vời, vì những nhóm chữ “hình như là” hay là “có thể” thật ra không có trong ngôn ngữ toán học. Vậy mà, qua nhiều năm, vẫn có những người nhớ tôi là thầy học cũ, có lẽ là vì qua những chứng minh chính xác của toán học, khi thuyết giảng, đôi khi tôi đã chen chút tâm tình. Trước khi kết thúc buổi điện đàm, tôi hỏi người phương xa: “Anh là con thứ mấy trong gia đình?” Câu trả lời đã làm tôi sững sờ: “Thưa thầy, em là Võ Văn Trưng, người cha của gia đình này”.

Tôi muốn kết luận chương này với một điều thắc mắc trong thơ Kiều. Như ở trên tôi đã viết về mối tình tương tư của Kim Trọng với Thúy Kiều:
“Sầu đong càng khắc càng đầy,
Ba thu dồn lại một ngày, dài ghê”

Câu ở trên có bản chép là “càng lắc càng đầy”, ý nói sầu như hạt ngũ cốc đong bằng đấu, càng lắc mà thay vì vơi xuống lại càng tăng lên. Dù cho dùng chữ “lắc” hay chữ “khắc” ở đây, câu thứ nhất chỉ có nghĩa là thời gian trôi đi, nghĩa là Δt có trị số dương và mối tình tăng lên, nghĩa là Δx cũng có trị số dương. Như thế, tỷ số Δx/Δt có trị số dương và cho ta biết độ tăng theo với thời gian của mối tình. Câu thứ hai đều được các giáo sư Việt văn dẫn giải là dịch chữ trong Kinh Thi: “Nhất nhật bất kiến, như tam thu hề” là “một ngày không được nhìn thấy nhau thì tưởng như dài bằng ba năm”. Ông Vân Hạc Lê Văn Hòe, trong cuốn Truyện Kiều Chú Giải cũng đã nhận ra rằng câu của Nguyễn Du lại là câu dịch ngược lại vì thi hào đã viết là ba năm nay thu lại thành một ngày nghĩa là làm ngắn đi vào khoảng một ngàn lần. Ông Vân Hạc cho rằng có lẽ vì thế mà câu dịch lại hay hơn nguyên tác.

Ta thử đặt câu hỏi là làm sao làm ngắn thời gian mà cụ Nguyễn Du, một người văn võ song toàn, mệnh danh là Hồng Sơn Liệp Hộ, đã rất sáng suốt về khoa học khi diễn tả tâm tình biến đổi theo thời gian ở những câu thơ khác, lại tự viết mâu thuẫn ở đây, đã làm ngắn mà lại thành dài ra. Suy luận ra thì ta có thể hiểu câu đó là thời gian đã thu gọn lại làm cho mối tình tăng lên vòn vọt.

Bạn đọc hãy trở lại mấy trang sách và coi Hình 6 cho tỷ lệ tăng Δx/Δt của nhiệt độ vào khoảng 9 giờ sáng. Nếu vẫn giữ nguyên gia số của nhiệt độ là Δx = 50 F nhưng thay vì phải mất nửa giờ nghĩa là Δt = 30 phút, nay ta làm gia số này ngắn lại một ngàn lần nghĩa là chừng một giây đồng hồ, ta sẽ hiểu ngay rằng mức độ tăng lên vòn vọt như hoả tiễn thăng thiên vì chỉ trong khoảng một tích tắc của đồng hồ, nhiệt độ đã tăng lên 50 F. Trở lại câu thơ của Kiều, nếu giữ nguyên gia số của tình mong nhớ Δx mà cho gia số của thời gian Δt thay vì 3 năm, nay chỉ là một ngày, thì mức độ tăng sẽ lớn lên một ngàn lần, làm chi mà chàng Kim chẳng lân la tìm mọi cách để gặp lại Vương Thúy Kiều.

Thi hào Nguyễn Du, trong bài thơ “Độc Tiểu Thanh Ký” đã viết hai câu kết
“Bất tri tam bách dư niên hậu,
Thiên hạ hà nhân khấp Tố Như?”
dịch là:
“Ba trăm năm lẻ nào hay biết,
Thiên hạ ai người khóc Tố Như?”

Hai câu thơ viết của tác giả ngụ ý là không biết sau này có còn ai là người hiểu mình không. Cụ Nguyễn Du mất năm Minh Mệnh nguyên niên (1820), tới nay chưa tròn hai trăm năm. Giờ nếu con em chúng ta đọc không thông vần quốc ngữ thì câu viết của tác giả truyện Kiều sẽ thành câu tiên tri về đời sau.

Tầm Xa của Phi Đạn

Đến đây, chúng ta đã có được chút hiểu biết sơ khai về “Lý Thuyết Cực Đại và Cực Tiểu Thông Thường” của một hàm số phụ thuộc vào một biến số như ta đã biểu thị bằng ký hiệu x = f(t). Ta đã dùng biến số là thời gian để dẫn giải vài thí dụ, nhưng ta có thể lấy bất kỳ một lượng nào để làm biến số. Chẳng hạn chiều dài một thanh sắt co dãn tùy theo nhiệt độ của thanh sắt ấy và ta có thể viết là d = f(x) và đọc là chiều dài d là hàm số của nhiệt độ x . Một hàm số cũng có thể phụ thuộc nhiều biến số. Chẳng hạn ta tưởng tượng nhìn xuống một mô hình một miền đồi núi, có chỗ cao có chỗ thấp. Muốn định một vị trí ta phải dùng hai toạ độ, x là hoành độ, và y là tung độ. Mỗi điểm lại có một chiều cao so với mức độ mặt bể. Ta có thể biểu diễn cao độ của miền đồi núi này bằng một hàm số viết là z = f(x,y) và đọc là cao độ z ở mỗi điểm trên mặt miền đất này là hàm số của hai biến số là những toạ độ x và y theo như trên Hình 7.


Cũng như vậy, mỗi buổi sáng nghe tin tức khí tượng qua đài truyền hình ta cũng được nhìn bản đồ của miến đất liên hệ trên đó cũng có những vành mầu sắc, mỗi mầu tượng trưng cho một nhiệt độ. Quen mắt nhìn ta có thê hiểu ngay nơi nào có nhiệt độ cao nhất và nơi nào có nhiệt độ thấp nhất. Muốn tính được những trị số cực đại hay cực tiểu đó, sở khí tượng phải dùng những tin túc, gọi là dữ kiện, cho biết nhiệt độ ở nhiều nơi rồi do đó mà tạo ra một mô hình nhiệt độ cũng như là mô hình đồi núi cao thấp. Có được hàm số này, ta viết ký hiệu là N = f(x,y) và đọc là nhiệt độ N tùy thuộc vào toạ độ x và y. Trở lại hàm số cao độ nói trước đây là z = f(x,y), nếy ta đứng ở miền dốc, nhìn lên ta thấy dốc lên, nghĩa là về phía đó Δz có trị số dương. Ngược lại, cũng ở sườn dốc đó mà nhìn xuống, ta thấy Δz có trị số âm vì khi ta đi xuống, độ cao sẽ giảm đi. Chỉ cần di chuyển chút ít là biết sẽ lên hay xuống. Vì vậy ta gọi sự sai biệt chút ít này là sự biến thiên và dùng ký hiệu δz (chữ delta nhỏ thay vì chữ hoa). Chỉ khi nào ta đứng ở đỉnh cao nhất ở một khu nào, thì khi nhìn về bất kỳ một phía nào, độ cao cũng vẫn thế. Ta kết luận là khi ở điểm cực đại, sự biết thiên là số không và bắt đầu phép tính bằng cách viết δz = 0. Lý luận này cũng đúng khi ta đúng ở chỗ thung lũng trũng nhất vì ỡ điểm đó, đi vể bất kỳ hướng nào cũng không xuống thấp hơn được nữa. Lý thuyết cực đại và cực tiểu thông thường nay đã được nghiên cứu tận củng và tổng quát cho những hàm số phụ thuộc nhiều biến số và đã có những chương trình điện toán tính ngay được trong giây lát những vị trí cực đại hay cực tiểu ở đó.
Reply With Quote
Old 14-08-2009, 04:27 PM   #3
hoangvu's Avatar
hoangvu
Administrator

 
Join Date: Oct 2003
United States
Đã Cảm ơn: 3,060
Được cảm ơn: 2,471 lần/1,400 bài
Blog Entries: 17
Status:hoangvu is offline
 
hoangvu is on a distinguished road

Cold Đường Trời Muôn Vạn Nẻo

Đường Trời Muôn Vạn Nẻo (Phần 2)
GS Nguyễn Xuân Vinh

Nhưng lý thuyết này chỉ là lý thuyết sơ khai. Đáp số của bài giải lại rất giản dị. Chẳng hạn lấy thí dụ hàm số nhiệt độ trong một ngày nào đó, ta có được ngay kết quả là lúc 2 giờ 48 phút buổi chiều có nhiệt độ cao nhất là 760 và ban đêm vào lúc 3 giờ 15 phút buổi sáng, nhiệt độ xuống thấp nhất là 520 F. Có một mô hình một miền đồi núi nào, dùng chương trình điện toán có thể tính ngay ra, chẳng hạn toạ độ (x0, y0) của điểm cao nhất, z0 = 3452 mét và tọa độ (x1, y1) của điểm thấp nhất với cao độ là z1 = 218 mét.

Bạn đọc có thể hỏi: “Vậy thì phép tính biến thiên khác ở điểm nào?” Ta có câu trả lời bằng cách coi lại đường cycloid ở Hình 4. Dọc theo đường này, bắt đầu từ điểm O là điểm cao nhất, xuống tới điểm A là điểm thấp nhất, ở mỗi vị trí của vòng tuột, ta vẽ đường tiếp tuyến với đường cycloid. Đường này cho biết hướng đi của cái vòng. Muốn chứng minh rằng đường này là đường tuột dốc nhanh nhất, ta phải liên tục tính độ dốc ở mỗi thời điểm rồi dùng độ dốc lý tưởng, nghĩa là độ dốc tối ưu rồi cho vào phương trình chuyển động của cái vòng để tính thời gian tuột xuống điểm A. Sau đó phải so thời gian này với thời gian tuột dốc theo bất kỳ một đuờng nào để chứng tỏ thời gian theo đường cycloid là thời gian ngắn nhất. Nói tóm lại, phép tính cực đại và cực tiểu thông thường chỉ cần cho đáp số ở một điểm, là điểm cho trị số cực đại hay cực tiểu của một hàm số. Trái lại phép tính biến thiên được dùng để tính một cách liên tục đáp số ở bất kỳ một điểm nào, nghĩa là từ đầu cho tới cuối, bài tính sẽ phức tạp hàng trăm ngàn lần. Chính vì thế mà những chuyên gia tính toán bằng điện toán, họ giải quyết bài toán tuột dốc như sau. Dĩ nhiên lúc đầu họ không biết đường cycloid nhưng tạm coi là có một đường gấp khúc gồm có 100 đoạn thẳng ngắn nối liền với nhau đi từ O tới A. Đi từ đoạn này, sang đoạn nối tiếp, độ dốc lại lệch đi một chút. Sau đó dùng máy tính điện tử để cho một cách chớp nhoáng thời gian tuột dốc. Mỗi lần tính lại được một kết quả, chẳng hạn tính lần đầu được thời gian gọi là t1. Sau đó thay đổi chút ít các độ dốc theo chiều hướng để làm sao được thời gian ngắn đi gọi là t2 . Cứ như thế mà giảm dần, mỗi lần thêm hay bớt lại giảm đi được một khoảng thời gian Δt. Dĩ nhiên cho đến lúc không làm sao ngắn thời gian được nữa thì cái biến thiên rất nhỏ này sẽ là δt = 0. Lối tính này cho lời giải một cách nhanh chóng, chi trong một chớp mắt đã vẽ được ra hình cycloid. Chì có một điều là bài giải không cho biết phương trình toán học của đường giây này và theo đó không biết những tính chất hình học kỳ diệu của hình như đã nói trước đây.

Tôi lấy một thí dụ khác nữa để phân biệt phép tính cực đại và cực tiểu thông thường và phép tính biến thiên.

Hình 8 cho ta thấy đạn đạo của một khẩu đại bác đặt ở đìểm O. Viên đạn lúc ra khỏi nòng có một vận tốc ban đầu là V0 . Sau đó viên đạn chỉ bị sức hấp dẫn của trái đất và sức cản của không khí và sẽ theo một qũy đạo để rơi xuống đích ở một khoảng xa gọi là D. Tầm xa này tùy thuộc hình thể và cấu trúc của viên đạn vì nó gây ra sức cản của không khí, và mặt khác tùy thuộc tỷ trọng của không khí trong ngày hôm đó.

Vì vận tốc ban đầu của viên đạn khi ra khỏi nòng súng là V0 đã có sẵn , tầm xa lại còn phụ thuộc vào góc bắn của đại bác gọi là α như trên hình. Ta cũng có ý niệm tương tự khi dùng một vòi nước để tưới một bồn hoa ở xa. Nếu góc bắn thật lớn, gần bằng 900 , thì đường đạn sẽ đi thẳng lên trời và đạn rơi gần chỗ bắn. Nếu ta giảm dần góc bắn α (hay là góc tưới của vòi nước) sẽ thấy tầm của cái đích xa dần dần. Nhưng khi đạt được một góc tối ưu nào đó mà được lợi tầm xa nhất, gọi là góc α* , thì ta sẽ thấy hiện tượng là dùng góc nhỏ hơn α* sẽ không tốt mà dùng góc lớn hơn α* cũng không tốt. Lúc đó tầm xa không thể nào làm hơn đươc nữa và ta có sự biến thiên bằng số không, nghĩa là δD = 0. Nếu ta làm bài tính dản dị đi bằng cách bỏ ra ngoài sức cản của không khí và không để ý đến đường cong của trái đất thì sẽ tính ra rất dễ dàng là α* = 450 . Đây là bài tính cực đại và cực tiểu thông thường. Đại bác chỉ dùng cho những tầm xa có giới hạn, chửng mười dặm trở lại. Muốn bắn phi đạn xa hơn nữa thì phải cần một vận tốc ban đầu rất lớn. Theo bài tính giản dị, nếu không kể sức cản của không khí và đuờng cong của trái đất thì tầm xa cực đại của đạn đạo cho bởi công thức

D = V02 / g

mà V0 là tốc độ ban đầu và g là độ gia tốc trọng lực với trị số là g = 9.81 m/giây-giây. Chẳng hạn nếu vận tốc ban đầu của viên đạn bằng vận tốc âm thanh nghĩa là V0 = 340 m/giây thì tầm xa là D = 11 km 784. Nếu kể cả sức cản của không khí thì tầm đạn cực đại này còn ngắn đi nhiều. Muốn chế tạo đại bác để bắn xa hàng trăm dặm hay bắn liên lục địa hàng mấy ngàn dặm thì phải có thuốc nổ thật mạnh và chế tạo nòng súng sao cho có được những vận tốc khổng lồ. Nhưng dù cho có đạt được những vận tốc thật lớn thì cũng không thể bắn đi xa được vì lẽ sức cản của không khí lại tỷ lệ theo với bình phương của vận tốc. Nếu tăng vận tốc lên hai lần thì sẽ tăng sức cản lên bốn lần. Với sức cản lớn tầm xa của đạn đạo sẽ ngắn đi rất nhiều. Vì vậy, muốn bắn xa, người ta phải chế tạo hoả tiễn với lý thuyết chuyển động theo Hình 9.


Lúc mới đẩu hoả tiễn đứng yên ở giàn phóng ở điểm O. Sau khi khai hoả, hoả tiễn có một sức đẩy F lớn hơn trọng lượng W làm cho hoả tiễn bay lên từ từ. Vận tốc lúc đầu nhỏ và sẽ tăng dần. Điều này là một lợi điểm vì sức cản của không khí, tượng trưng bởi lực A ở trên hình, tỷ lệ theo với tỷ trọng của không khí và bình phương với vận tốc. Ở dưới thấp, tỷ trọng của không khí còn lớn nên cần giữ vận tốc nhỏ để sức cản không lớn quá độ. Khi hoả tiễn đã lên cao, vào khoảng 15 km, tỷ trọng của không khí chỉ bằng một phần mười tỷ trọng trên mặt đất, vận tốc dù có lớn nhưng sức cản của không khí trên đạn đạo cũng không lớn quá hạn. Dùng nguyên lý động lực của Newton, người ta có thể tính qũy đạo gây ra bởi tổng hợp của ba lực là trọng lượng W, sức cản A và sức đẩy F. Sức đẩy của hoả tiễn tùy theo sự đốt cháy nhiên liệu trong động cơ và điều này đã được thử nghiệm trước. Như thế nghĩa là những kỹ sư chế tạo động cơ đã cho ta biết trước sức đẩy F như là một hàm số của thời gian, thay đổi theo từng phút, từng giây ra sao từ thời điểm ban đầu ở gốc toạ độ O cho tới điểm triệt hoả là điểm A, khi nhiên liệu cháy hết. Để tổng kết lại, qũy đạo của hoả tiễn tầm lớn hay liên lục địa nay chỉ còn tùy thuộc chiều hướng của sức đẩy F , biểu thị bằng góc gọi là θ ở trên Hình 9. Nếu biết cách lựa chọn góc này để hướng dẫn đường bay của hoả tiễn thì khi tới điểm triệt hoả là điểm A, lúc đó trên cao độ mấy chục cây số, tỷ trọng không khí gần như là số không và không còn sức cản lớn, hoả tiễn đạt được vận tốc khởi thủy V0 rất lớn và ở một góc bắn tuyệt hảo để sẽ theo đó mà đạt được tầm xa D cực đại. Góc θ gọi là phương của sức đẩy, không hẳn là cố định mà thay đổi theo với thời gian. Lấy lý mà suy thì ta có thể nghĩ rằng góc θ lúc đầu rất lớn, gần như 900 để hỏa tiễn lên thẳng và dần dần sẽ nhỏ đi. Đây cũng là một bài tính có thể dùng máy điện toán để giải quyết một cách nhanh chóng. Các chuyên gia tính toán sẽ chia thời gian cháy nhiên liệu làm nhiều khoảng ngắn, chẳng hạn mỗi khoảng là 10 giây đồng hồ. Sau đó ước đoán phương cho θ cho mỗi khoảng, chẳng hạn 10 giây đầu dùng θ là 800 , 10 giây kế tiếp giảm xuống 750 vân vân ...Máy tính điện tử với siêu tốc độ sẽ cho trong khoảnh khắc quỹ đạo đi từ O đến A, cho biết vận tốc V0 , và góc bắn ở điểm A và sau đó tính luôn cả đạn đạo cho đến lúc chạm đất và được tầm xa gọi lả D1 . Sau đó dùng một chương trình điện toán để thay đổi phương θ ở mỗi khoảng thời gian, hoặc thêm, hoặc bớt chút đỉnh, nhưng phải theo chiều hướng sao cho lần này tầm xa tổng cộng D2 có được phải lớn hơn lần trước, nghĩa là phải có số gia tăng ΔD = D2 - D1 có một trị số dương. Mỗi lần lập lại như thế tầm xa lại tăng lên chút ít và theo lẽ thông thường, khi tính đúng chiều hướng, sự tăng này lúc đầu khá lớn nhưng sau sẽ giảm đi dần dần. Khi không còn cách nào làm hơn được nữa, sự biến thiên sẽ là số không, nghĩa là δD = 0. Sự tăng rồi cũng tàn lụi dần, và qũy đạo tính được ra lần cuối cùng sẽ là qũy đạo cho hoả tiễn có tầm xa cực đại.

Giờ đây nếu bạn đọc coi lại hai câu thực trong bài “Bán Than” của Trần Khánh Dư, tôi đã để thêm dấu phẩy như sau:
“Ít, nhiều, miễn được đồng tiền tốt,
Hơn, thiệt, nài bao gốc củi tàn!”
chắc chắn bạn đọc sẽ hiểu thêm ý nghĩa của mấy câu thơ này.

Để kết luận chương này, tôi có thể nói là có hai chiều hướng để tìm ra qũy đạo tối ưu. Chiều hướng thực tế hơn cả là phép tính trực tiếp. Bằng cách này, những kỹ sư thiết kế những đường bay không gian kiến trúc một chương trình để tính qũy đạo dựa vào một phép điều khiển dự đoán lúc ban đầu. Chẳng hạn khi tính tầm xa của phi đạn thì dùng một phương θ (t) của sức đẩy, thay đổi với thời gian t, để cho lúc đầu thì có độ lớn rồi nhỏ dần dần như đã tả ở trên. Sau đó lập lại phép tính lần thứ hai, rồi lần thứ ba, vân vân ... Mỗi lần tính phải thay đổi phuơng của sức đẩy chút ít nhưng sự thay đổi này cũng phải dựa vào một công thức toán học nhằm sao cho kết quả của phép tính phải tốt hơn lần trước. Như trong trường hợp tầm xa D của phi đạn thì kết quả sau phải lớn hơn lần trước. Nếu là một chương trình phóng phi thuyền không gian vào qũy đạo thì vận tốc sau củng V0 ở điểm triệt hoả A phải đạt được mức tối đa với một số nhiên liệu hạn định trước. Sau nhiều lần tính liên tiếp mà khi thấy mức độ tăng trở nên không đáng kể thì coi như là đã tìm ra lời giải cho bài toán.
Một chiều hướng thứ hai hoàn toàn dựa vào toán học thuần lý để viết ra những phương trình cần thiết dựa theo nguyên tắc là theo qũy đạo tối ưu thì sự biến thiên phãi là số không. Như đã nói ở trên, những phương trình này được gọi là phương trình của Euler và Lagrange. Phương pháp này được gọi là phương pháp gián tiếp. Gọi là gián tiếp có nghĩa là thay vì tính thẳng ra qũy đạo tối ưu, người ta chỉ tìm cách tìm ra một chương trình điều khiển, chẳng hạn phương θ(t) dưới dạng một hàm số của thời gian, với điều kiện cần thiết là hàm số này phải là phép giải của phương trình Euler và Lagrange. Chỉ có một điều là phần viết ra phương trình thì dễ, nhưng đến lúc giải phương trình, dù cho có dùng máy điện tử siêu tốc độ chăng nữa, cũng tốn nhiều thì giờ để cho đáp số hội tụ một các chính xác.

Mấy Nhịp Cầu Treo
Tôi bắt đầu học Phép Tính Biến Thiên không phải để tính qũy đạo tối lợi mà vì theo học môn Hình Học Cao Cấp (Géométrie Supérieure) ở Đại học Marseille cách đây cũng đã trên bốn mươi năm. Môt bài toán được đặt ra vào những năm đầu của thế kỷ 18 khi phép tính biến thiên đang được xây dựng thành hình là bài toán sau đây:

“Trong một mặt phẳng, quy tụ theo hệ thống toạ độ thẳng góc Oxy, lấy hai điểm A và B. Tìm ra đường cong chạy qua hai điểm này để làm sao khi quay chung quanh trục Ox, đường cong này tạo ra được một mặt tròn xoay có diện tích chung quanh là một diện tích tối thiểu”.

Theo như Hình 10, ta có thể thấy ngay rằng nếu nối A và B bằng một đường thẳng thì sau khi quay chung quanh Ox, đoạn AB sẽ tạo ra một hình nón cụt tròn xoay. Nếu gọi R1 là bán kính của vòng tròn vẽ bởi điểm A và R2 là bán kính của vòng tròn vẽ bởi điểm B, gọi d là độ dài của đoạn thẳng AB thì diện tích của hình nón cụt tròn xoay, gọi là S, sẽ cho bởi công thức: S = π d (R1 + R2)
với trị số của π là 3.14159 ...

Diện tích này lớn hơn diện tích S* là diện tích của đường cong giải đáp bài tính vẽ ở phía dưới đoạn thẳng AB. Muốn chứng tỏ rằng diện tích S không phãi là diện tích nhỏ nhất thì ta so diện tích này với diện tích S1 gây ra bởi đường gấp khúc AIJB. Vì đoạn IJ nằm trên Ox, không gây ra mặt tròn xoay, nên S1 là tổng số diện tích hai vòng tròn với bán kính R1 và R2 . Như vậy, ta có:
S1 = π (R12 + R22)

Ta dùng ký hiệu > để tỏ sự lớn hơn và viết rằng S > S1 , hay là
π d(R1 + R2) > π(R12 + R22)

Nếu lấy quy ước R1 là bánh kính lớn, nghĩa là R1 > R2 thì ta sẽ thấy ngay là khi cho hai điểm A và B cách nhau khá lớn để cho d = R1 thì bất đẳng thức viết trên đâyđược nghiệm đúng ngay. Ta kết luận là đoạn thẳng AB không gây ra diện tích nhỏ nhất.

Đường cong, là lời giải đáp, gây ra diện tích nhỏ nhất, như vẽ trên Hình 10, gọi là đường Catenary , hay còn có thể gọi là đường dây treo. Gọi như thế này thật là đúng với ý nghĩa của hình vì cũng như đường Cycloid được vạch ra bởi một điểm trên vành bánh xe lăn, ta có đường catenary bằng cách treo giữa hai điểm A và B một sợi giây đồng chất và thật mềm. Tuy có một dạng chung nhưng hình dáng của hình cũng thay đổi, vi cùng giữ nguyên một độ dài của giây mà nếu cho hai điểm A và B gần nhau thì sợi giây trũng xuống và nếu dang rộng ra thì sợi giây có hình soải dài.

Muốn giải bài toán này bằng phương pháp trực tiếp thì ta chia đoạn giây phỏng đoán làm nhiều phần bằng nhau, mỗi phần thay bằng một đoạn thẳng rất nhỏ. Chẳng hạn nếu chia làm n phần thì khi quay chung quanh Ox ta được một mặt tròn xoay gồm có n mặt nón cụt. Ta tính được diện tích tổng cộng một cách dễ dàng. Sau đó thay đổi độ dốc của những đoạn giây kế tiếp để được một diện tích nhỏ hơn để cho đến lúc không làm nhỏ hơn được nữa là ta có được một hình treo của một sợi giây xích gồm n đoạn nhỏ. Dùng phép ngoại suy để vẽ đường giây cho tròn trặn, ta có ngay được đường catenary. Nếu dùng phương trình của Euler và Lagrange, để tìm lời giải thì ta có được phương trình của đường catenary viết theo hàm số
y = b cosh [ (x - a)/b ]

Ký hiệu cosh đọc là cosin hyperbol còn hai hệ số a và b là hai hệ số phải được lựa chọn để cho đường cong được biểu thị bởi phương trình này chạy qua hai điểm A và B đã cho sẵn.

Đường giây treo cho bởi phương trình trên dĩ nhiên đã được thực nghiệm trước khi tính chất toán học của hình được tìm ra. Nhà bác học người Ý là Galileo (1564-1642) mới đầu cho rằng đây là một hình parabol. Muốn có ý niệm của một hình parabol thì ta tưởng tượng một hình đạn đạo trong chân không, loại bỏ sức cản của không khí như theo Hình 8. Quay ngược hình parabol thì có được một đường gần giống như hình giây treo. Đi lễ chùa, nhìn tượng Phật ta thấy những nếp áo trùng trước ngực, đó cũng là những hình ảnh gần đúng với đường catenary vì cũng là những lớp vải treo.

Một hình ảnh đẹp cho ta khái niệm về đường catenary là hình giây treo của cây cầu Golden Gate ở thành phố San Francisco. Một điều đặc biệt nữa là lúc mới chăng giây thép qua những trụ đặt xuống lòng bể thì những sợi giây có hình catenary, nhưng sau này khi người ta dùng những sợi dây thòng xuống để treo những nhịp cầu thì đường giây treo là đường catenary tất nhiên phải đổi dạng. Những nhà toán học, dựa vào môn cơ học thuần lý và đặt giả thuyết là những nhịp cầu nhỏ này dài và nặng bằng nhau, và hơn nữa có trọng lượng lớn hơn của những sợi giây treo gấp bội, thì hình của giây treo giũa hai đỉnh cột cầu lại thực sự là một hình parabol tức là hình quay ngược của đường đạn trong chân không. Bạn đọc có thể nhìn thấy một cách khái quát hình parabol khi ném hòn đá theo một đường vòng lớn.

Mới đầu người ta chỉ để ý đến tính chất hình học của đường catenary khi quay chung quanh đường Ox (Hình 10) sẽ tạo ra một mặt tròn xoay có diện tích tối thiểu. Mặt tròn xoay này được đặt tên là mặt catenoid, và có tính chất là nếu đặt hai vòng tròn có mặt phẳng song song với nhau và cùng có chung một trục, thì trong tất cả các mặt chạy qua hai vòng tròn ấy thì mặt catenoid có diện tích nhỏ nhất. Tự đó mà nhà toán học Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) là một Bá tước Pháp, đã đặt ra bài tính là nếu cho sẵn một đường cong phép kín mà không phẳng thì tìm sao ra một mặt chạy qua đường cong này mà có diện tích nhỏ nhất. Bài tính này được đặt ra năm 1760 và như đã nói ở trên, bất cứ một mặt nào, như là mặt một miền đồi núi, có thể được biểu diễn bởi một hàm số của hai biến số là z = f(x,y), Bá tước Lagrange đã chứng minh đươc rằng phương trình được nghiệm bởi hàm số giải đáp là một phương trình vi phân riêng phần bậc hai, rất khó tìm lời giải. Trong vòng một trăm năm tiếp theo, những nhà toán học nghiên cúu môn Hỉnh Học Vi Tích, tuy không hẳn tìm ra lời giải đáp là tìm được một mặt chạy qua môt hình cong khèp kín mà có dìện tích tối thiểu so với các mặt khác cùng chạy qua đường cong này, nhưng đã phám phá ra nhiều mặt có hình dáng đặc biệt, chẳng hạn như hình catenoid nói trên đây. Đến năm 1968, một nhà vật lý học người Pháp tên là Plateau khám phá ra được rằng nếu lấy giây thép uốn thành một đuờng cong khép kín và hình thể bất kỳ ra sao, và sau đó nhúng vào nước nhớt, như là nước xà bông, thì khi lấy ra sẽ có được một mặt có diện tích tối thiểu và điều này có thể chứng minh được căn cứ trên nguyên lý sức căng mặt dàn. Tuy Plateau chỉ là một nhà vật lý học cỡ trung bình, chưa tìm ra được một định luật nào đáng kể, nhưng nhờ thí nghiệm ấy mà bài tính toán học thuần lý này từ đó được mang tên là bài toán của Plateau. Bạn đọc có thể làm thí nghiệm này một cách dễ dàng và có thể uốn cong đường khép kín theo nhiều kiểu khác nhau để thấy hình dáng của nhiều mặt khác lạ, cùng chung tính chất là có diện tích tối thiểu, chẳng hạn như theo Hình 12 là hình Catenoid.

Trong các bộ môn toán học, Hình học là một môn chính xác nhất. Hơn nữa, vì tính chất tuyệt hảo của các hình, như hình tròn, hình cầu, hình lục lăng đều, vân vân ... mà các hình thể này được tạo hoá thể hiện trong thiên nhiên. Như đêm rầm, ngửng đầu nhìn lên không trung, ta thấy mặt trăng hình tròn. Đứng bên bờ ao, nghe tiềng cá đớp ánh trăng, nhìn xuống ta cũng thấy những gợn nước hình tròn. Sáng sớm ra vườn, cắt một quả dứa hay hái một trái khế, ta cũng thấy vỏ dứa có mắt xếp thành những hình lục lăng kề nhau, múi khế thành hình ngũ giác. Bông hoa hướng dương, những hạt cũng được xếp thành hình soắn ốc như trên các vỏ ốc đẹp tuyệt vời. Con ong làm tổ cũng theo hình lục lăng đều vì trong tạo hoá muốn xếp những hình có cạnh đều liền với nhau mà không có khoảng trống như trường hợp lát gạch hoa, thì ta chỉ có thể chọn một trong ba hình là hình tam giác đều, hình vuông và hình lục lăng đều, và loài ong đã chọn hình lục lăng vì hình này gần với thân ong, và kiến tạo tổ cũng đỡ tốn kém sáp ong nhất.

Bài toán mặt diện tích tối thiểu chạy qua một đường cong khép kín cũng chỉ là một bài toán có tự nhiên trong trời đất, và nếu Lagrange không đặt ra vào năm 1760 thì thế hệ sau thế nào cũng có người nghĩ đến. Tuy vậy, như đã nói ở trên, phải đến cuối thế kỷ thứ 19, các nhà toán học mới tìm ra được một số mặt có diện tích tối thiểu (minimal surfaces). Phương trình tổng quát của những mặt này nghiệm đúng phương trình bậc hai riêng phần của Lagrange, nhưng tìm ra một mặt phẳng đặc biệt chạy qua một đường cong khép kín bất kỳ thì lời giải vẫn chưa tìm ra được mặc dầu thử nghiệm đã chứng tỏ rằng có sự hiện hữu của mặt tối thiểu.

Một số những mặt tối thiểu, được mang tên những nhà toán học đã tìm ra như là Enneper, Schwarz, Dupin, ... đã được tạo thành mô hình thạch cao và để tại thư viện toán học của Đại học Princeton. Ở trường Đại học Sorbonne ở Paris, phân khoa toán cũng lưu trữ một số mô hình các mặt hình học, trong đó có nhiều mặt diện tích tối thiểu như trên Hình 13.
Bẵng đi một thời gian, phải tới khoảng những năm 1926-1928, mớì có bài đăng lời giải của giáo sư René Garnier ơ Đại học Paris thích hợp cho đường khép kín hợp bởi những đoạn thẳng gấp khúc. Lời giải trọn vẹn được tìm ra bởi hai nhà toán học Hoa Kỳ là các giáo sư J. Douglas và Tibor Rado vào năm 1929.

Từ nhỏ tôi đã thấy say sưa khi học ở trung học phải giải những bài toán hình học thật khó khăn. Lên đại học, tôi phải vào tận Nghệ An để học Toán Học Đại Cương với giáo sư Nguyễn Thúc Hào, lúc đó trong thời kỳ kháng chiến chống Pháp. Giáo sư Hào có bằng cử nhân Toán và đặc biệt ông có bằng cao học về “Giải Tích Cao Cấp” (Analyse Supérieure) . Ông thường nói là ước chi ông cũng được học môn “Hình Học Cao Cấp” thì thật là đầy đủ vì ông coi đó như là những môn chính của Toán học. Vào niên học 1953-1954, ở Pháp có 17 Khu đại học, nhưng chỉ có hai đại học là Đại học Paris và Đại học Marseille là cấp chứng chỉ Hình Học Cao Cấp, được kể là bằng cao học (Diplôme d’études supérieures). Lúc đó tôi đang theo học ở Trường Sĩ Quan Không Quân Pháp ở Salon de Provence nên ghi tên học môn này ở Đại học Marseille và ngoài việc được ngắm nhìn và làm quen với nhiều mặt diện tích tối thiểu, đôi khi tôi ngắm nhìn và thấy thích thú vì tưởng như những màn sương rơi vương trên cành lá, mà lại được học về phép tính biến thiên để truy tầm những kết quả tối ưu, nhiều năm sau này tôi áp dụng vào phương pháp tính qũy đạo. Giờ đây, những mô hình toán học mà tôi làm quen khi xưa, và vì không nhìn ngay thấy sự ứng dụng nên chỉ coi như là những hình đẹp trong thiên nhiên, nay đã được đưa dần vào hội hoạ và kiến trúc trong những thế kỷ 20 và 21.
Reply With Quote
Old 14-08-2009, 04:34 PM   #4
hoangvu's Avatar
hoangvu
Administrator

 
Join Date: Oct 2003
United States
Đã Cảm ơn: 3,060
Được cảm ơn: 2,471 lần/1,400 bài
Blog Entries: 17
Status:hoangvu is offline
 
hoangvu is on a distinguished road

Cold Đường Trời Muôn Vạn Nẻo

Lời Tiên Tri của Voltaire
Khi tôi mới ra đời, ở những năm bắt đầu năm ba mươi của thế kỷ 20, Viện Đại Học Chicago là nơi quy tụ những nhân tài về toán học và khoa học. Nơi đây về sau này là nơi đã thực nghiệm thành công sự tạo ra năng lượng nguyên tử. Trong bộ môn toán học, dưới sự hướng dẫn của giáo sư G. A. Bliss, một loạt luận án tiến sĩ đã được đều đều viết ra trong mấy năm liền chung quanh đề tài “Phép Tính Biến Thiên” (Calculus of Variations).

Như ở đoạn trên đã viết, môn này được khởi sự bởi những bài toán đố của hai anh em ông Bernouilli, và thực sự được khai triển bởi người học trò của ông Bernouilli em là nhà thiên tài toán học Euler. Nhà toán học này đã tìm ra được điều kiện cần thiết để cho bài toán có lời giải cho trị số tối thiểu, chẳng hạn cho đường giây tuột dốc với thời gian ngắn nhất hay cho một đường cong quay tròn để tạo ra một mặt có diện tích nhỏ nhất. Mới đầu phép giải bài toán này chỉ được coi như là một định lý toán học ở trong bộ môn giải tích đã có hàng trăm định lý khác. Phần khác, phép tính biến thiên chỉ dùng để tìm lời giải cho một số bài toán về hình học hay cơ học như hai bài toán vừa nói ở trên. Những áp dụng trong thực tế, nói cho đúng ra thì không có gì nhiều. Trong lịch sử môn toán học, vào những năm đầu của thế kỷ thứ hai mươi, phép tính biến thiên không được chú trọng đến vì vấn đền này được coi như là đã giải quyết xong. Nhưng một lý thuyết toán học nào cũng có những trường hợp gọi là trường hợp bất thường. Tỷ dụ như đã nói ở trên, một hàm số y = f(x) , liên tục cho biến số x ở trong khoảng từ x = a, cho đến x = b, sẽ qua một trị số cực đại hay cực tiểu khi đạo hàm triệt tiêu nghĩa là : δy = 0. Theo như đồ thị trên Hình 14 thì ở điểm cực đại hay cực tiểu, ta có tiếp tuyến nằm ngang với trục hoành độ như ở những điểm x1 và x2 .

Nhưng cũng theo hình này thì ở điểm x3 , hàm số cũng liên tục và có trị số cực đại tuyệt đối, nghĩa là còn lớn hơn trị số cực đại ở điểm x1. Vậy mà ở điểm này, tiếp tuyến với đường cong không những không nằm ngang mà lại không liên tục. Ngoài ra, cũng theo Hình 14, điểm cho trị số cực tiểu tuyệt đối không phải là điểm x2 , khi tiếp tuyến với đường cong nằm ngang mà lại ở điểm tận cùng khi x = b.

Trong phép tính biến thiên cũng vậy, định lý của Euler cũng chỉ là một định lý cho điều kiện cần thiết. Cuối thế kỷ 19, nhiều nhà toán học lỗi lạc như T. W. Weierstrass đã có những đóng góp xuất sắc về những điều kiện cần và đủ cho bài toán có lời giải tối thiểu. Nhóm sinh viên tiến sĩ của giáo sư Bliss ở Chicago sau đó đã khai triển tận cùng mọi khía cạnh của phép tính biến thiên và tất cả những luận án của họ nay được kể là những công trình căn bản. Tới những năm bắt đầu thập niên bốn mươi, kỹ nghệ được mở mang và những nhu cầu của cuộc đại chiến thế giới đã làm cho con người luôn luôn nghĩ đến chuyện làm sao cho mình vừa mạnh, vừa nhanh lại vừa ít tốn kém tài lực và nhân lực. Nói tóm lại trong đời sống thực tế đã có những nhu cầu đòi hỏi sự áp dụng của toán học, đặc biệt là phép tính biến thiên.

Khi những khoa học gia bắt đầu dùng những định lý tìm ra bởi nhóm Chicago, bắt nguồn từ những lý thuyết căn bản của Euler, Jacobi và Weierstrass, thì người ta mới nhận ra rằng đem áp dụng vào thực tế không phải hoàn toàn suông sẻ. Chẳng hạn, dùng cho sự vận chuyển trên đại dương trong thế chiến, trên mặt biển theo hình cầu, đường ngắn nhất giữa hai điểm A và B là đường theo vòng tròn lớn, gọi là trực đạo, nhưng nếu muốn tránh những miền có đặt thủy lôi, và những đường tuần phòng của tầu ngầm địch thì phải đi đường vòng thích nghi nhất, nghĩa là đường ngắn nhất mà không đi qua những vùng bể nguy hiểm. Lấy một thí dụ khác, trong sự vận chuyển hàng không, người ta có thể chứng minh được rằng nếu dùng phi cơ có máy phản lực thì khi dùng một số nhiên liệu đã hạn định trước, tầm máy bay càng đi xa khi phi cơ càng bay cao. Mặt khác, muốn đốt cháy nhiên liệu trong máy phản lực, người ta cần đến không khí, mà chất liệu này càng lên cao càng bớt đi, muốn trộn đủ nhiên liệu đốt và không khí, người ta cần phải làm máy tua bin thật mạnh để hút và ép không khí. Tóm lại vì sức máy có hạn, cao độ bay cũng có giới hạn và tầm bay xa cũng theo đó mà bị giới hạn. Nói chung, bất kỳ một bài toán nào biểu thị một hiện tượng thực tế trong đời sống cũng có những giới hạn ép buộc. Như giả sử ta làm một cây cầu bắc qua một con sông, mà muốn cầu chịu đựng một sức xe 50 tấn chạy qua, để giảm bớt kinh phí kiến trúc, người ta cũng phải giới hạn số sắt và thép làm cầu đã ấn định trước, vì nếu không người ta cứ thả dàn dùng những thanh sắt càng dầy càng tốt để bảo đảm an toàn.

Bài toán biến thiên ở thời đại này không còn là bài toán giản dị tìm ra đường dây tuột nhanh nhất hay một đường cong để khi quay tròn sinh ra một mặt có diện tích tối thiểu, mà là bài toán tìm ra lời giải cho một hệ thống động lực phức tạp. Tôi lấy một thí dụ cụ thể để dẫn giải là bài toán thay đổi qũy đạo của một vệ tinh trong không gian sao cho đỡ tốn nhiên liệu nhất.

Như theo Hình 15, một vệ tinh nhân tạo hay một phi thuyền không gian, được tượng trưng bằng một điểm M, bay chung quanh trái đất với tâm điểm O, theo một qũy đạo khép kín. Qũy đạo này, thường thì là một hình bầu dục nhưng trong thí dụ này ta lấy trường hợp thật dản dị là một hình tròn nằm trong mặt phẳng xích đạo. Nay muốn dùng phi thuyền có máy chụp hình để quan sát một diện tích lớn trên trái đất thì lý tưởng ra phải đặt phi thuyền vào một qũy đạo tròn cao hơn trước và nằm nghiêng với mặt phẳng xích đạo, chẳng hạn theo góc 300 . Như thế, trong khi bay vòng, ta có thể quan sát hay dùng máy để chụp hình những miền ở vĩ tuyến gần Bắc cực hay Nam cực vì một nửa qũy đạo sẽ ở Bắc bán cầu và một nửa ở Nam bán cầu. Mặt khác, theo lý thuyết chuyển động. mặt phẳng qũy đạo có hướng cố định trong không gian mà ở dưới thì trái đất lại quay đều chung quanh trục Nam Bắc. Như thế ta có thể chụp hình toàn thể địa cầu khi trái đất quay tròn làm cho các múi kinh tuyến lần lượt hiện ra trên vùng quan sát.

Muốn di chuyển phi thuyền từ một qũy đạo đầu tiên gọi là Q1 , sang qũy đạo sau cùng gọi là Q2 , người ta phải cho phi thuyền rời qũy đạo nguyên thủy ở một điểm nào đó, gọi là điểm I . Ở điểm này, ta phải dùng hoả tiễn, gắn ở phi thuyền cho khai hỏa để cháy trong vài phút tùy theo ngắn hay dài để tạo ra một sức đẩy theo một chiều hướng nào đó với mục đích chuyển phi thuyền sang một qũy đạo gọi là qũy đạo chuyển vận, ghi là qũy đạo C. Sau đó, theo nguyên lý rơi (hay là bay) trong không gian, dưới hấp lực của trọng trường trái đất, phi thuyền sẽ tới gặp qũy đạo tận cùng ở điểm J. Ờ điểm này ta lại dùng hoả tiễn với khoảng thời gian cháy và chiều hướng cho sức đẩy để làm sao cho phi thuyền chuyển hướng bay vào qũy đạo Q2 như đã định trước. Trên đây ta đã mô tả sự chuyển vận phi thuyền từ qũy đạo Q1 sang qũy đạo Q2 . Nhưng khi thực hiện ta có thể chọn bất kỳ một điểm I nào để khởi đầu. Mặt khác ta cũng có thể chọn trên qũy đạo Q2 một điểm J bất kỳ nào để làm điểm tận cùng.. Phương sách để chọn lựa hai điểm I và J thật là vô tận. Tính môt cách thô sơ, chia vòng tròn ra làm 3600 , không kể những vị trí lẻ ở giữa những độ liên tiếp, thì chỉ chọn hai điểm I và J không thôi, ta có tất cả là 360x360 = 129 600 lối chọn khác nhau. Sau nữa giữa những điểm I và J ta có thể chọn qũy đạo chuyển vận C bằng nhiều cách. Chẳng hạn ta có thể hạn định giờ bay ngắn hay dài giữa những điểm I và J. Muốn cho dễ hiểu ta làm bài toán thô sơ như sau: Muốn tính chu kỳ P, tức là thời gian bay trọn một vòng trên qũy đạo tròn chung quanh trái đất thì ta có thể dùng công thức thật dản dị sau đây:
P = [ 1 + (h/R) ]3/2 x 84,489 phút

Ở công thúc này, R = 6378,135 km là bán kính trái đất và h là cao độ của qũy đạo. Lấy tỷ dụ qũy đạo thấp đầu tiên có cao độ h = 400 km. Thời gian bay vòng quanh qũy đạo này, tính theo công thức trên sẽ là P1 = 92,56 phút. Nay ta muốn chuyển sang một qũy đạo cao hơn với h = 800 km để từ phi thuyền tầm nhìn xa sẽ lớn hơn, thì theo công thức trên, chu kỳ để bay trọn một vòng trên qũy đạo mới sẽ là P2 = 100,87 phút. Nay tính trung bình, thời gian bay từ qũy đạo này sang qũy đạo khác, nghĩa là từ vị trí I tới vị trí J bằng một nửa chu kỳ trung bình của hai qũy đạo. Tính giản dị, thời gian bay này là 48 phút. Thời gian này chưa chắc đã là thời gian tốt nhất. Vì vậy muốn có sự lựa chọn để lấy qũy đạo đỡ tốn nhiên liệu nhất, ta tính nhiều qũy đạo chuyển vận từ vị trí I tới vị trí J, có qũy đạo mất lâu hơn 48 phút và có qũy đạo ngắn hơn 48 phút. Tỷ dụ ta tính 30 qũy đạo khác nhau, qũy đạo nhanh nhất mất 33 phút và qũy đạo chậm nhất mất 62 phút. Như vậy, nói sơ sơ, muốn đi từ qũy đạo Q1 sang qũy đạo Q2 ta có thể dùng trong sự chọn lựa qũy đạo tối ưu một số đường bay là 360x360x30 = 3.888.000 tức là gần 4 triệu đường đi khác nhau. Như thế, đường trời muôn vạn nẻo, chọn đường nào cho có lợi? Giờ nói đến chuyện thế nào là tối lợi, hay tối ưu? Nếu tính đường bay cho một phi cơ phản lực khu trục, đang bay từ cao độ tuần phòng, cần lên cao độ lớn hơn để chặn địch thì phãi tính đường bay nhanh nhất, bất kể tốn kém về nhiên liệu. Ngược lại, cho một phi cơ tuần thám, dùng một số nhiên liệu dự trữ sẵn, thì phải tính đường bay sao cho thời gian bay có trị số tối đa. Trong sự điều khiển vệ tinh và phi thuyền không gian ta có thể dùng hai mục tiêu. Nếu muốn quay một vệ tinh nhân tạo, từ vị thế này sang vị thế khác, chẳng hạn để đổi hướng nhắm một vì sao, hay để truyền tín hiệu về trái đất, thì ta tìm lối quay vận chuyển nhanh nhất. Cho những tác động này, dùng những động cơ phản lực nhỏ, sự tốn kém nhiên liệu không phải là vấn đề quan trọng. Nhưng khi muốn vận chuyển vệ tinh hay phi thuyền không gian, từ qũy đạo này sang một qũy đạo khác, rất tốn kém nhiên liệu, thì phải tìm phương pháp để tiết kiệm nhiên liệu. Vì thế, sự lựa chọn hai điểm I và J trên Hình 15 và chọn qũy đạo vận chuyển C để nối hai điểm này phải làm sao để cho nhiên liệu đốt ở những điểm I và điểm J, khi cộng lại được giữ ở mức tối thiểu. Người đầu tiên đã giải bài toán này là nhà bác học người Đức W. Hohmann đã viết tài liệu Die Erreichbarkeit der Himmelskorper, có nghĩa là phương pháp để đạt tới các thiên thể, và được in ra năm 1925. Đây là bài toán thay đổi qũy đạo dản dị nhất như được biểu thị trên Hình 16. Hai qũy đạo Q1 và Q2 đều là qũy đạo tròn và nằm trong cùng một mặt phẳng. Theo phương pháp chuyển qũy đạo của Hohmann đề nghị thì hai điểm I và J là hai điểm xuyên tâm đối. Qũy đạo vận chuyển là một hình bầu dục tiếp xúc với hai qũy đạo khởi thủy và tận cùng ở những điểm I và J. Khi phi thuyền tới điểm I thì hoả tiễn đốt máy phản lực để tăng tốc độ làm cho phi thuyền rời qũy đạo Q1 để bay vào qũy đạo chuyển vận C. Cũng như thế, khi phi thuyền tới điểm J, nghĩa là đã đạt được cao độ của qũy đạo Q2 thì hoả tiễn lại phải đốt cháy trong khoảng thời gian cần thiết để tăng tốc độ phi thuyền tới tốc độ vừa đủ để bay vào qũy đạo này. Qũy đạo vận chuyển này được mang tên là qũy đạo Hohmann và đi theo đường này thì tổng số nhiên liệu cần thiết để thay qũy đạo ở những điểm I và J sẽ ở mức tối thiểu. Tuy Hohmannn đề nghị phương pháp này nhưng ông không chứng minh đó là qũy đạo tối ưu, nghĩa là ít tốn nhiên liệu nhất. Phải đợi hai mươi lăm năm sau vào khoảng đầu những năm năm mươi, khi con người bắt đầu nghĩ đến chuyện phóng những vệ tinh nhân tạo và thay đổi qũy đạo thì điều này mới được chứng minh tường tận.

Cho đến nay thì sự đóng góp vào phép tính tối ưu, bắt nguồn từ phép tính biến thiên, và sự áp dụng phương thức để tính những qũy đạo tối ưu, là do công trình nghiên cứu của nhiều người và nhiều nhóm. Về lý thuyết, đáng kể nhất là nhóm của giáo sư người Nga là ông L. S. Pontryagin và ba môn đệ của ông. Nhóm này xây dựng “Lý Thuyết Phương Sách Tối Ưu” (Theory of Optimal Process) vào khoảng những năm 1956-1961. Đại cương thì lý thuyết này tối tân hoá phép tính biến thiên của nhóm Chicago để khi áp dụng vào những bài toán thực nghiệm có nhiều sự ràng buộc, tìm ra lời giải được dễ dàng hơn. Giáo sư Pontryagin, vì những năm cuối của cuộc đời, ông bị mù loà nên mới xuất thần nghĩ ra định lý chính cho lý thuyết gọi là Nguyên Lý Tối Đa (Maximum Principle), và sau đó ông hướng dẫn cho các môn đệ, nay cũng là những vị cao niên, dùng môn giải tích cao cấp để chứng minh định lý này. Nhóm này được giải thưởng Lenin về khoa học vào năm 1962. Cũng vào những năm cuối của những năm năm mươi mà ở Đại học Canterbury ở một xứ hẻo lánh ở Nam bán cầu là New Zealand mà giáo sư D. F. Lawden đã viết một loạt bài về lý thuyết thay đổi qũy đạo với nhiên liệu tối thiểu. Lý thuyết của ông được dùng một cách tổng quát để vận chuyển những qũy đạo hình bầu dục ở không gian ba chiều nên qũy đạo tìm ra bởi Hohmann chỉ là một trường hợp rất đặc biệt. Tất cả những bài viết của giáo sư Lawden đều đã được đăng ở báo kỹ thuật của British Interplanetary Society và nguyệt san Astronautica Acta của Hàn Lâm Viện Không Gian Quốc Tế (International Academy of Astronautics) nên được nhiều người biết đến và ông được coi như là người đặt nền móng căn bản cho lý thuyết qũy đạo không gian tối ưu. Sau đó ông tập hợp tất cả những điều đã tìm ra để viết thành cuốn sách “Optimal Trajectories for Space Navigation” do nhà sách Butterworths ở London xuất bàn năm 1963. Sách này chỉ hai năm đã bán hết và đã là sách căn bản để dậy môn qũy đạo không gian tối ưu ở bậc đại học. Năm 1967, Viện Hàng Không và Không Gian Hoa Kỳ (American Institute of Aeronautics and Astronautics) thành lập “Giải Cơ Học và Điều Khiển Phi Hành” (Mechanics and Control of Flight Award). Giải này được phát mỗi năm cho một người và giáo sư Lawden là người đầu tiên được tặng giải. Tuy vậy vì tư tưởng chính trị, ông không được cấp chiếu khán vào Hoa Kỳ kịp thời nên nhờ hai giáo sư John V. Breakwell ở Đại học Stanford và giáo sư Georges Leitmann là khoa trưởng ở Đai học California ở Berkeley lĩnh hộ.

Hai thập niên sáu mươi và bẩy mươi là những năm mà các nhà khoa học và kỹ thuật chú ý đến sự khảo cứu về những phương pháp tối ưu và những áp dụng đặc biệt trong chuyển động không gian. Về lý thuyết thì có phương sách tối ưu theo kiểu Pontryagin nay được gọi là Lý Thuyết Điều Khiển Tối Ưu (Optimal Control Theory). Có hàng loạt luận án tiến sĩ, sách giảng dậy, và cả báo kỹ thuật chuyên môn được đề ra hay xuất bản về môn này. Về qũy đạo tối ưu thì nay đã có mấy trăm bài khảo cứu được viết ra trong khoảng hai mươi năm nhưng phần lớn đều là những bài khảo xát về những khiá cạnh nhỏ của lý thuyết của giáo sư Lawden. Nhưng trong khoảng những năm 1967-1970 thì có hai nhân tài người Pháp xuất hiện là các ông Christian Marchal và Jean-Pierre Marec đều là cựu sinh viên lỗi lạc của Trường Bách Khoa (École Polytechnique) và sau này đậu tiến sĩ quốc gia toán học ở Đại học Paris. Thay vì chỉ căn cứ vào cuốn sách của giáo sư Lawden rồi khai thác những phần đặc biệt chưa được đề cập đến, các ông Marchal và Marec đã khảo xát lý thuyết chuyển qũy đạo tối ưu một cách tổng quát. Họ đã đạt được những kết quả thật xuất sắc và toàn diện trong đó chứa đựng lý thuyết của Lawden. Những nhà khoa học này đã thành công vì một mặt họ có căn bản toán học vững chắc, và mặt khác họ được học chu đáo về môn cơ học thiên thể mà từ một trăm năm nay hai nước Pháp và Nga là những nước có truyền thống giảng dậy kỹ càng nhất. Giờ đây có thể nói là Lý thuyết qũy đạo không gian tối ưu, bắt đầu từ Hohmann vào năm 1925, và được khai triển bởi Lawden vào những năm 1956-1960, đã được coi như hoàn mỹ khi chúng ta bước vào phần cuối của thế kỷ hai mươi. Đường trời tuy có muôn vạn nẻo, nhưng nhờ óc thông minh và tính kiên trì trong công cuộc tìm tòi khảo cứu, nay loài người đã biết tìm thấy hướng đi.

Cũng như ở cuối những phần trên, tôi kết luận chương sách này với những kỷ niệm riêng. Là một người đã bắt đầu làm quen với những bài tính về qũy đạo từ năm 1962, tôi đã gặp và quen hầu hết những khoa học gia lỗi lạc nhất về môn này.

Giáo sư người Nga, L. S. Pontryagin là người của thế hệ trước, nay đã qua đời tôi chỉ biết ông qua cuốn sách để lại. Nhưng tháng 5 năm 1991 tôi đã được gặp đại đệ tử của ông, cũng là người lớn tuổi hơn, là tiến sĩ V. G. Boltyanski trong một buổi họp một tuần lễ ở Đức quốc. Vào dịp này Viện Toán Học Mathematisches Forschunginstitut Oberwolfach đã mời vào khoảng ba mươi nhà toán học trên thế giới về Phép Tính Biến Thiên họp và ăn ở một tuần lễ ở miền núi Oberwolfach ở vùng Black Forest để cùng thảo luận về môn này với một số nhà toán học Đức quốc. Những bài thảo luận cũng đã được in thành sách để làm tài liệu. Sau khi Liên Sô xụp đổ, nhiều nhà khoa học Nga được dễ dàng xuất ngoại. Đầu năm 1995, nhân vật thứ ba của nhóm Pontryagin là giáo sư R. V. Gamkrelidze, có lẽ là người thông thạo Anh ngữ nhất trong nhóm, đã được mời tới Đại học Michigan, là nơi tôi đang giảng dậy, hai tuần để trao đổi ý kiến. Tôi dự một bài thuyết trình của ông về “Lịch Sử tìm ra Nguyên Lý Tối Đa” thì được biết là khởi đầu có mấy sĩ quan của Bộ Quốc Phòng đến gặp giáo sư Pontryagin và hỏi ý kiến ông về phương pháp điều khiển để đạt được kết quả tối ưu khi có sự giới hạn. Vấn đề này nếu dùng phép tính biến thiên cổ điển để tìm lời giải đáp thì rất phức tạp. Theo giáo sư Gamkrelidze thì tiến sĩ Pontryagin đã mất hai đêm không ngủ mới nghĩ ra Nguyên Lý Tối Đa. Sau đó nhóm của ông cũng mất thêm mấy năm nữa để viết một bài giới thiệu lý thuyết này, đi từ trường hợp dễ đến trường hợp tổng quát.

Giáo sư Lawden, nguyên là người Anh quốc, có một thời gian di cư sang New Zealand, nay lại trở về Đại học Birmingham ở quê hương. Sau này có vẻ ông không còn thiết tha đến môn qũy đạo học và trở về môn Cơ Học Nguyên Lượng (Quantum Mechanics). Tôi chưa được gặp ông, nhưng vào khoảng năm 1970 tôi viết một bài khảo cứu đề là “Integration of the Primer Vector in a Central Force Field” gửi đăng ở báo quốc tế “Journal of Optimization Theory and Applications”. Luật lệ của báo này là phải có một chuyên gia đọc bài và ký tên đỡ đầu. Toà báo đã gửi bản thảo của tôi cho ông duyệt và khi bài in ra có chua thêm là “communicated by D. F. Lawden”. Đây cũng là điều khá đặc biệt vì ít khi tôi thấy ông hỗ trợ bài của ai.

Giải Cơ Học và Điều Khiển Phi Hành gồm có một huy chương để choàng vào cổ, một bản tuyên dương và một huy hiệu để cài trên ve áo. Về giáo sư Lawden, người đầu tiên được trao giải này, thì trên huy chương có khắc chữ và trên bằng có in câu tuyên dương “For pioneer work and outstanding contributions to the field of space flight optimization”, tạm dịch là “Cho những công trình khai phương và đóng góp xuất sắc cho môn qũy đạo không gian tối ưu”. Hai giáo sư bạn lĩnh giải hộ cho ông thì giáo sư John V. Breakwell được chọn lĩnh giải năm 1972 và giáo sư George Leitmann là khôi nguyên năm 1984. Tôi thường gặp giáo sư Breakwell hàng năm trong những Hội nghị về Cơ Học Vũ Trụ (Astrodynamics). Ông đã qua đời cách đây mấy năm nhưng ông đã để lại nhiều công trình đặc sắc và nhiều cựu sinh viên tiến sĩ của ông ở Đại học Stanford đã rất thành công trong ngành khoa học không gian. Lần cuối cùng tôi gặp giáo sư Leitmann là ở tuần lễ hội thảo ở Oberwolfach. Ông cho biết là trong chương trình trẻ trung hóa ở các đại học California ông đã cùng một số lớn các giáo sư ở Đại Học Berkeley về hưu trước tuổi tối đa.

Tôi quen biết khá thân với nhóm khoa học gia ở Pháp. Năm 1968 tôi chuyển từ Đại học Colorado tới Đại học Michigan và trước khi đi đã mời được Christian Marchal từ Paris sang Colorado thay thế môt năm. Vào niên học 1974-1975 tôi cũng sang Pháp để làm việc chung với ông Jean-Pierre Marec, lúc đó là một trong những giám đốc ở cơ quan Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales (ONERA) ở Châtillon gần Paris và cũng dậy thế cho ông một khoá ở Trường SupAéro ở Toulouse. Nhân dịp này ông cũng nhờ tôi coi lại bản thảo cuốn sách “Optimal Space Trajectories” của ông, sau này do nhà xuất bản Elsevier Scientific Publishing Company ở Amsterdam in ra năm 1979. Cuốn sách này đầy đủ và ở trình độ cao hơn cuốn sách của giáo sư Lawden nên bây giờ được coi như là cuốn sách chính và độc nhất về môn này trên thế giới. Trong phần mở đầu, tiến sĩ Marec cũng ân cần cám ơn tôi đã đọc bản thào và góp ý kiến. Trong bài giới thiệu cuốn sách của Marec, viết bởi ông Pierre Contensou là Chủ Tịch cơ quan ONERA có một câu mở đầu trích từ bài viết của nhà văn và triết gia Francois-Marie Arouet, bút hiệu là Voltaire (1694-1778) : “Notre voyager connaissait merveilleusement les lois de la gravitation, et toutes les forces attractives et répulsives. Il s’en servait si à propos, que tantôt à l’aide d’un rayon de soleil, tantôt par la commodité d’une comète, il allait de globe en globe, lui et les siens, commme un oiseau voltige, de branche en branche” (Người du hành của chúng ta biết một cách nhiệm mầu những luật hấp dẫn vạn vật, những sức hấp và sức đẩy. Khách không gian đã khéo biết lợi dụng, lúc thì nương một tia sáng mặt trời, lúc dựa theo đà một ngôi sao chổi, cùng với quyến thuộc, khách đi từ tinh cầu nọ tới tinh cầu kia, như một con chim bay truyền cành.) Câu viết này thật là lời tiên tri vì nay trong phương sách tìm qũy đạo tối ưu trong chiều hướng ít tốn kém nhiên liệu, đôi khi muốn thay đổi qũy đạo, người ta cho vệ tinh bay sát một hành tinh ở giữa đường để nhờ sức hấp của hành tinh này làm gia tăng tốc độ và lấy đà để đi tới hành tinh khác ở xa hơn. Một phương sách khác được dùng khi chuyển từ qũy đạo cao tới qũy đạo thấp khi người ta cần phải giảm bớt tốc độ phi thuyền, thì có một cách là thay vì dùng hỏa tiễn chạy ngược chiều để giảm tốc độ, người ta cho phi thuyền bay vào bầu khí quyển của hành tinh và dùng sức cản gây ra để hãm tốc độ. Để lấy một thí dụ giản dị, ta coi trên Hình 17 biểu thị qũy đạo của vệ tinh Magellan khi bay tới Hoả Tinh. Theo nguyên tắc thì khi bay tới cận điểm là điểm P, ta phải cho máy hoả tiễn chạy ngược chiều để gây ra một sức cản lớn làm giảm tốc độ để vệ tinh quan sát này bay vào qũy đạo bầu dục PQ chung quanh Hoả Tinh.

Muốn gây ra sức cản này cũng khá tốn kém nhiên liệu, và nếu có cách nào giảm thiểu thì có thể dùng trọng lượng dư ra để dùng cho những dụng cụ quan sát, đo lường, truyền tin hay để dùng cho những sự điều khiển khác. Phương pháp tiết kiệm nhiên liệu đã được cơ quan điều khiển Jet Propulsion Laboratory ở Pasadena, California dùng để cho vệ tinh vào qũy đạo của Hoả Tinh là làm cho vệ tinh tới hành tinh này ở điểm thấp hơn cao độ của điểm P để đi vào trong bầu khí quyển dù rất mỏng manh nhưng cũng đủ để gây ra một sức cản rất nhẹ. Nhờ đó mà vệ tinh đi vào một qũy đạo chung quanh Hoả Tinh, lúc đầu thật rộng, và viễn điểm còn ở cao hơn viễn điểm dự trù Q rất nhiều. Nhưng mỗi lần vệ tinh quay trở lại điểm P, là điểm thấp nhất với sức cản tăng lên theo tỷ lệ thuận với tỷ trọng của bầu khí quyển, vận tốc lại được giảm đi làm qũy đạo thu hẹp dần lại. Người ta có thể dùng toán học để chứng minh rằng điểm P, là cận điểm của qũy đạo hình ellip, gần như đứng nguyên trong khi đó điểm Q là viễn điểm thì xuống thấp dần. Khi đã tới đúng cao độ chọn lựa cho điểm Q thì ở đó ta cho chạy máy hoả tiễn một thời gian ngắn để tăng vận tốc lên chút ít và như thế sẽ đưa điểm P lên cao hơn bầu khí quyển và hoàn tất phương sách dùng bầu khí quyển để bắt vệ tinh.

Theo Ánh Tinh Cầu
Nhiều người ở trong lớp tuổi của tôi, lớn lên và ra đời ở trong một thời đại có nhiều biến chuyển trên đất nước, đã từng giữ những chức vụ quan trọng trong chính quyền cũng như trong quân đội, đã viết những hồi ký, và những cuốn sách nếu viết trung thực sẽ là những tài liệu qúy giá cho đời sau. Riêng tôi thì chỉ viết những mẩu chuyện ngắn kể lại từng khoảng đời tầm học và phục vụ trong những ngành giáo dục và nghiên cúu khoa học của mình mà thôi. Những bài viết này tôi thu thập lai thành những tập sách, hướng nhiều về những bạn đọc trong giới học sinh và sinh viên của nước nhà.

Cuốn sách đầu tiên tôi đưa ra đã do nhà Xuất Bản Đại Nam in vào năm 1990 với đề là “Theo Ánh Tinh Cầu” . Có những lần, ngồi nhìn tấm bìa sách vẽ một em bé thả diều, tôi đã nghĩ rằng vô tình người bạn trẻ là hoạ sĩ trang trí cho cuốn sách đã tả cuộc đời trôi nổi của tôi, dù có lên xuống theo vận nước như con diều theo gió sớm, nhưng lúc nào cũng cố gắng để vươn lên cao. Tôi nghĩ là hành xử trong cuộc đời, miễn là có ý niệm tốt đẹp là trau dồi tài năng để có dịp thì dấn thân, phục vụ cho quốc gia và dân tộc được hữu hiệu hơn, thì dù có gặp khó khăn, cản trở, với kiên trì và tạo điều kiện thích nghi với hoàn cảnh thì thế nào cũng tiến tới thành công.

Các toán gia về môn Lý Thuyết Điều Khiển Tối Ưu, khi tìm những lời giải cho một bài toán qũy đạo tối ưu, chuyển phi thuyền từ một qũy đạo này sang qũy đạo khác, cũng gặp những trường hợp tương tự. Mỗi lần thay đổi hướng bay, dù cho một phi cơ bay trong bầu khí quyển của trái đất, hay cho một phi thuyền không gian, người ta phải tạo ra một lực để quay vec-tơ vận tốc theo chiều hướng và lực này khá lớn nếu vận tốc lớn. Vì vậy, nếu là phi thuyền không gian đang vận chuyển trên một qũy đạo hình ellip thì nên đợi cho phi thuyền tới viễn điểm, ở nơi đó vận tốc có trị số tối thiểu, đó là thời điểm thuận tiện để quay vec-tơ vận tốc. Mặt khác, nếu phi thuyền không gian có cánh và bay trên một qũy đạo thấp, nghĩa là gần bầu khí quyển mà chương trình bay đòi hỏi một sự đổi hướng khá lớn thì người ta có thể để hoả tiễn điều khiển tạo ra một lực nhẹ để đẩy phi thuyền vào bầu khí quyển rồi dùng khí động lực tạo ra bởi cánh bay để thay đổi phương hướng như một phi cơ lượn vòng mà không tốn nhiên liệu. Nhưng sau đó lại phải dùng hoả tiễn tạo ra lực đẩy để đưa phi cơ lên qũy đạo sau cùng. Nói một cách tổng quát, phương pháp thay đổi qũy đạo tổng hợp cả ba lực nhân tạo và thiên nhiên là:

1/ Phản lực của máy hoả tiễn do sự đốt cháy nhiên liệu mà tạo thành.
2/ Sức hấp dẫn của mặt trời và các hành tinh mà phi thuyền bay ngang qua.
3/ Sức cản và sức nâng của phi thuyền có cánh khi bay trong bầu khí quyển của trái đất hay của hành tinh muốn thám sát.
__________________
www.dactai.com
Reply With Quote
Old 16-10-2009, 04:11 PM   #5
hoangvu's Avatar
hoangvu
Administrator

 
Join Date: Oct 2003
United States
Đã Cảm ơn: 3,060
Được cảm ơn: 2,471 lần/1,400 bài
Blog Entries: 17
Status:hoangvu is offline
 
hoangvu is on a distinguished road

Flower Đường Trời Muôn Vạn Nẻo

Nếu biết khéo léo lợi dụng ba lực này thì sẽ tiết kiệm tới mức tối đa sự tiêu thụ nhiên liệu mà phi thuyền chỉ mang theo có giới hạn. Vào hai thập niên cuối của thế kỷ thứ hai mươi, phương pháp tổng hợp này được nhiều nhà khảo cứu chú ý. Năm 1969, cũng vào tháng 7 là tháng mà phi hành gia Neil A. Armstrong là người đầu tiên đặt chân lên mặt trăng, một tập khảo cứu tôi viết chung với tiến sĩ Christian Marchal đề là “Analytical Solutions of a Class of Orbit Modifications” được cơ quan NASA in ra với số hiệu Contractor Report No 1379. Gần hai mươi năm sau, giáo sư K. D. Mease ở Đại học Princeton viết trong một bài tổng luận đăng trên Journal of the Astronautical Sciences số tháng 6 năm 1988, rằng: “In the context of coplanar transfers, the idealization was first employed by Vinh and Marchal”. (Hai ông Vinh và Marchal là những người trước tiên đã lý tưởng hoá vấn đề chuyển qũy đạo trong cùng một mặt phẳng). Tôi cần nói thêm là bài tổng luận này bàn về phương sách dùng bầu khí quyển để làm trợ lực cho sự vận chuyển qũy đạo. Trong thập niên bẩy mươi tôi viết nhiều tài liệu về vấn đề này và vào năm 1981 nhà xuất bản Elsevier Scientific Publishing Company chọn cuốn sách của tôi đề là “Optimal Trajectories in Atmospheric Flight” để in nối tiếp theo cuốn của ông Marec. Hai cuốn sách này được dùng trên tất cả mọi nước trên thế giới mà có chương trình không gian. Ờ mấy nước Á châu như Đài Loan và Đại Hàn họ in ngầm lại mà không xin phép. Nhưng cũng vì thế mà những bài viết của tôi nhắc đến trong những cuốn sách này được phổ biến rộng rãi ra ngoài những nước tiền tiến ở Âu châu và Mỹ châu.

Trong những năm cuối của thế kỷ vừa qua, tôi nhận được thư mời tới thăm viếng hay giảng dậy những khoá ngắn hạn từ nhiều nước kể cả nước Nga sau thời kỳ Liên Sô và những Đại học ở Trường An và Nam Kinh ở Hoa Lục. Đôi khi tôi nhận được thư mời duyệt luận án tiến sĩ ở những đại học có tiếng như Đại học Princeton ở Hoa Kỳ, Đại học McGill ở Gia Nã Đại và Viện Khoa Học Ấn Độ ở Bangalore khi những luận án này đề xuất ra những lý thuyết có liên hệ đến những tài liệu tôi đã viết. Với nước Pháp là nơi tôi có nhiểu kỷ niệm trong cuộc đới tầm học, ngoài việc giảng dậy ở SupAéro như đã nói ở trên, có một lần tôi được mời sang Institut National Polytechnique de Toulouse để tham dự ban giám khảo chấm thi tiến sĩ cho một thí sinh viết luận án về một bộ môn tôi có nhiều đóng góp. Tuy bận nhiều việc nhưng tôi vẫn dành thì giờ làm những công việc này cốt để giữ tên tuổi của người Việt Nam có mặt ở mọi ngành. Trong những năm qua có vài lần đài phát thanh “Tiếng Nói Hoa Kỳ” (Voice of America) cử phóng viên tới phỏng vấn tôi về những hoạt động khoa học. Lần nào ở đoạn cuối tôi cũng gửi lời về nhắn nhủ thế hệ trẻ trong nước giữ vững niềm tin, trau dồi tài năng, sao cũng có ngày xây dựng đất nước thanh bình trong tự do, dân chủ, quyền làm người được tôn trọng.

Tôi làm công việc khảo cứu và giáo dục về môn cơ học và toán học vì yêu chuộng những môn này. Theo khí tiết của Nho học, đã trải qua nhiều đời trong giòng họ, không bao giờ tôi vận động để được lợi lộc này nọ. Tuy vậy, ở Đại học Michigan tôi đã được thăng cấp giáo sư thực thụ khá sớm và được tặng cả hai giải xuất sắc vể giáo dục và khảo cứu. Sau cùng thì Giải Cơ Học và Điều Khiển Phi Hành cũng đến với tôi và vào năm 1994 Viện Hàng Không và Không Gian Hoa Kỳ đã chọn tôi để nhận giải này cho năm ấy. Một người bạn Do Thái của tôi, là Khoa Trưởng Phân Khoa Hàng Không và Không Gian tại Viện Kỹ Thuật danh tiếng Technion ở Haifa , khi gặp tôi ở Jerusalem mùa thu năm ấy, đã nói rằng: “tôi nói với mọi người là bạn phải được giải thưởng này cách đây mười lăm năm”.

Tôi đã cám ơn người bạn, nhưng mình tự nghĩ rằng dù có được muộn nhưng cũng thấy an ủi là có những người Việt đi trước chót lọt ở mỗi ngành tân kỳ thì sau này các con em cùng mang tên họ Việt Nam mới dễ cạnh tranh được với người. Cũng như những người đi trước, giáo sư D. F. Lawden được lãnh giải này đầu tiên năm 1967, hay những giáo sư John V. Breakwell thuộc Đại học Stanford được vinh danh năm 1972 và giáo sư George Leitmann thuộc Đại học California ở Berkeley vào năm 1984, phải mười năm sau nữa mới đến lượt tôi, và tôi đã được ông Chủ tịch của American Institute of Aeronautics and Astronautics trao tặng một tấm bằng tưởng lục công trình đóng góp vào sự điều khiển phi thuyền không gian và choàng vào cổ tấm huy chương vàng trong một bữa tiệc có vào khoảng gần một ngàn kỹ sư và khoa học gia không gian tham dự, lần này ở một Hội nghị toàn quốc họp ở Scottsdale, tiểu bang Arizona.

Ở một bên tấm huy chương có khắc hình chiếc phi cơ của hai anh em Orville và Wilbur Wright, lần đầu tiên rời mặt đất ngày 17 tháng Chạp năm 1903, và vết chân của phi hành gia Neil Armstrong, lần đầu tiên đặt trên mặt trăng ngày 20 tháng 7, năm 1969 tóm tắt sự phát triển của ngành Hàng không và Không gian Hoa Kỳ trong thế kỷ 20. Mặt bên kia cũa huy chương có khắc tên tôi và câu tuyên dương: “For outstanding contributions to the mathematical theory of optimal control, applied to the flight mechanics of aerospace vehicles in the atmosphere and in space”. Đó là câu mà ủy ban tuyển chọn đã tóm tắt sau khi coi những thành tích đóng góp của tôi vào môn cơ học phi hành không gian.


Tôi xin phép không dịch ra tiếng Việt câu này. Khi tôi tra tự điển Anh-Hán và Hán-Việt thì thấy chữ “outstanding” được dịch là kiệt xuất. Nếu lạm dụng mà dùng hai chữ này thì tức là không còn chỗ để làm hay hơn được nữa. Và như thế lại trái những lời tôi thường khuyên các bạn trẻ là lúc nào cũng phải cố gắng để theo cho kịp bằng người.

GS Nguyễn Xuân Vinh
Trích trong Tập truyện “Vui Đời Toán Học”
dự trù xuất bản cuối năm 2009.
__________________
www.dactai.com
Reply With Quote
Trả lời

Bookmarks

Tags
biên khảo, gs nguyễn xuân vinh, vạn nẻo, đường trời



Hiện thời số người đang xem chủ đề này là: 1 (0 Thành viên và 1 Khách)
 
Thread Tools
Display Modes

Quyền Hạn Gởi bài
Bạn không được quyền gửi bài mới
Bạn không được quyền gửi trả lời
Bạn không được quyền gửi kèm file
Bạn không được quyền sửa bài

BB code đang Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đangTắt

Chuyển nhanh đến

Múi giờ GMT -7. Hiện tại là 09:45 AM.


Chút Lưu Lại không chịu bất cứ trách nhiệm gì về nội dung bài đăng của tất cả Thành viên.
Nhóm Điều Hợp có toàn quyền chỉnh sửa, xóa bỏ, dời chỗ bài đăng, hay khóa tên Thành viên mà không cần giải thích lý do.

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Copyright © 2017 @ www.chutluulai.net. All rights reserved.
Vietnamese Language by www.mvietx.org.